1.Знайдіть усі кути трикутника, якщо
а) один із них менший за другий і на 20° більше за третій
б) їхні градусні міри відносяться як оочень нужно

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.

Точка М - центр описанной окружности.

Точка О - центр вписанной окружности.

Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.

Радиус вписанной окружности равен по формуле:

r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.

Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.

PB=HB=2см (касательные из одной точки).

Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:

ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .

ответ: расстояние между центрами окружностей равно

√1,25 ≈ 1,12 см.

Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:

d² = R² - 2·R·r.

В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.

тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.

Для любого треугольника справедлива теорема синусов, которая говорит о следующем:

A/sin(a)=B/sin(b)=C/sin(c)=2R, где:

A/sin(a)=B/sin(b)=C/sin(c) - соотношения сторон треугольников к синусу противоположных им углов;

R - радиус окружности, описанной около треугольника.

1). Имеем сторону треугольника 3 (см) и противоположный ей угол, равный 120°. Тогда по теореме синусов:

3/sin(120°)=2R;

3/sin(90°+30°)=2R;

3/cos30°=2R;

3/(√3/2)=2R;

6/√3=2R;

R=3/√3; | освободимся от иррациональности, домножим и числитель, и знаменатель на √3

R=√3.

2). Аналогично, имеем сторону 3 см и угол, равный 30:

3/sin(30°)=2R;

3/(1/2)=2R;

6=2R;

R=3.

3). Аналогично, имеем сторону 3 см и угол, равный 135°;

3/sin(135°)=2R;

3/sin(90°+45°)=2R;

3/cos45°=2R;

3/(√2/2)=2R;

6/√2=2R;

R=3/√2; | освободимся от иррациональности, домножим и числитель, и знаменатель на √2

R=(3*√2)/2.

ответ: 1). R=√3; 2). R=3; 3). R=(3*√2)/2.