1. Знайти невідомі гострі кути прямокутного трикутника, якщо:
один з них 24º;
вони відносяться як 2:7.
2. Чи існує трикутник зі сторонами:
12см, 11см, 12см.
1см, 2см, 3см.
15см, 22 см, 5см.
3. У прямокутному трикутнику проведено висоту з вершини прямого кута. Один з кутів, на які ділить висота прямий кут, дорівнює 15º. Знайти гострі кути прямокутного трикутника та другий кут, на який ділить висота прямий кут трикутника.
4. Зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 64°. Знайдіть внутрішні кути трикутника?
5. В прямокутному трикутнику проведено медіану з вершини прямого кута. Знайти кути прямокутного трикутника, якщо один з кутів, утворених при перетині медіани та гіпотенузи дорівнює 122º.
№ 1, 2 (дати коротку відповідь)
№ 3, 4, 5 (розгорнута відповідь)
Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒ r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π) < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁.
BE : EC = 1 : 2 ⇒BE = k₂ , EC = 2k₂ ; BC=3k₂.
CF : FA = 1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA = 2k₃ ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.
Если :
AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁.
BE : EC = 2 : 1 ⇒BE = 2k₂ , EC = k₂ ; BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда точка касания F середина AC.
Если теперь вспомнить (именно в этот момент :) ), что точка M - центр окружности, описанной вокруг ABC, то есть MB = MC = MA; то это значит, что точка P тоже лежит на описанной окружности.
Получается, что ∠ACP и ∠ABP оба вписанные в окружность, описанную вокруг треугольника ABC и опираются на дугу AP этой окружности. Поэтому они равны. Очевидно, что ∠ABP равен половине ∠ABC; поэтому
ответ ∠ACP = 32,5°