10. У даний кут А вписано коло, що дотикається до сторін кута
в точках В і С, Удовільно взятій точці D кола проведено дотич-
ну (рис. 6). Визначте периметр трикутника, утвореного дотич-
ною і сторонами кута, якщо довжина відрізка АВ дорівнює 10.
КС
Рис. 6
Відповідь:​

По теореме Пифагора найдём второй катет первого треугольника. а^2=25-9=16. Значит а=4.Находим площадь первого треугольника по формуле S=1/2ав. (Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов). S=1/2*3*4=6 см². Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. S1:S2=6:54=1/9. Значит коэффициент подобия равен 1/3. Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия т.е. 5/х=1/3. Решая уравнение получаем х=15.

Вписываем в исходный треугольник окружность с центром О, проводим касательные перпендикулярно биссектрисам двух острых углов исходного треугольника (на рисунке ST и UV). Эти касательные отрезают два остроугольных треугольника AST и UVC (т.к равнобедренные треугольники  с острым углом противолежащим основанию являются остроугольными).  В центральном 5-угольнике все его внутренние углы тупые (кроме, может быть угла B). Соединяем вершины этого 5-угольника с центром О. Полученные пять треугольников остроугольные, потому что проведенные отрезки - биссектрисы углов 5-угольника, а биссектрисы делят любой угол на два острых, причем, если угол был тупой, то его половина больше 45 градусов, т.е. это означает что углы при вершине О, острые.

P.S. Можно доказать, что меньше, чем на 7 остроугольных треугольников разрезать нельзя.