10. ( В) Равнобедренный треугольник удалось разрезать на два меньших равнобедренных треугольника так, как это на рисунке. Найдите угол при основании этого треугольника,
11. ( В) Равнобедренный треугольник удалось разрезать
на два меньших равнобедренных треугольника так, как это показано на рисунке. Найдите угол при основании этого треугольника.
12. (В) На сторонах АВ и ВС прямоугольного треугольника
АВС взяли точки М, К и Е так, что BE = EK = KM = = MC = АС. Найдите величину угла АВС
12. (В) Треугольник с внешним углом равным 80°
разрезали на три равнобедренных треугольника так, как это показано на рисунке. Найдите меньший угол этого треугольника.
13. ( В) Биссектриса треутольникаотсекает от его
высоты и противоположной стороны равные отрезки так, как это показано на рисунке. Докажите, что один угол этого треугольника равен 90'.
14. ( В ) Угол треугольника о. Найдите угол
между биссектрисами двух других его углов.
По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине.
а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα
a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ
a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω
Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω.
Поэтому добавляем четвёртое уравнение:
α + β + ω = 2π.
Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:
α градус α радиан cos α a² = a =
25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665
41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663
34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664.
С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.
-----------
Соединим вершины треугольника с точкой Ѕ
АЅ=ВЅ=СЅ
Если расстояние от точки вне треугольника до его вершин одинаково., то одинаковы проекции наклонных отрезков, соединяющих эту точку с вершинами: значит, вокруг треугольника можно описать окружность, и основание перпендикуляра к плоскости треугольника лежит в центре этой описанной окружности.
По условию расстояние до плоскости треугольника 3 см
АО=R
Треугольник АОЅ- египетский, и АО=4 см( проверьте по т.Пифагора).
Радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 его высоты. ⇒
Высота треугольника АН=4:(2/3)=6 см