100 угол при вершине a ромба abcd равен 20∘. точки m и n – основания перпендикуляров, опущенных из вершины b на стороны ad и cd. найдите углы треугольника bmn.

1. После построения MN получается треугольник MNE, подобный треугольнику CDE по первому признаку подобия (угол Е - общий, углы С и NME равны как соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых CD и MN секущей СЕ). Поскольку треугольники подобны, то <MNE = <CDE = 68°2. Зная, что развернутый угол равен 180°, находим угол DNM:<DNM = 180 - <MNE = 180 - 68 = 112°3. Поскольку DM - биссектриса, то угол MDN = <CDE : 2 = 68 : 2 = 34°4. Зная два угла треугольника DMN, находим неизвестный угол:<DMN = 180 - <MDN - <DNM = 180 - 34 - 112 = 34°

В правильной треугольной пирамиде полная поверхность равна 16корень из 3 см^2, а площадь основания- 4корень из 3 см^2.Найдите апофему и плоский угол при вершине пирамиды.

Зная площадь основания, найдём величину стороны а основания из формулы So = a²√3/4.

Отсюда a = √(4S/√3) = √(4*4√3/√3) = 4см.

Находим площадь боковой поверхности.

Sбок = S - So = 16√3 - 4√3 = 8√3 см².

Площадь одной боковой грани в 3 раза меньше, поэтому:

Sгр = 8√3/3 см².

Из формулы площади грани как треугольника найдём значение апофемы (это высота боковой грани).

Sгр = (1/2)aA, отсюда находим апофему.

А = 2Sгр/а = 2*(8√3/3)/4 = (4√3/3) см.

Угол при вершине равен 2arctg((a/2)/A) = 2arctg(2/(4√3/3)) =

= 2arctg(3/(2√3) ≈ 81,7868 градуса.