100Б 1. Знайти довжину кола, вписаного в ромб із стороною 10 і площею 40.
2. Основи трапеції рівні 60 і 20, а бічні сторони 13 і 37. Обчислити площу трапеції.
3. Точки А і В належать площині α , а точка С лежить поза площиною α . Вкажіть, які з
наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) пряма АС лежить в площині α ;
б) пряма СВ не лежить в площині α ;
в) пряма АВ лежить поза площиною α ;
г) пряма АВ лежить в площині α .
4. У трикутній піраміді SABC всі ребра дорівнюють 12 см. Побудуйте переріз піраміди
площиною, яка проходить через ребро СS і точку Μ — середину ребра ВА. Знайдіть
периметр побудованого перерізу.

5. Через кінці відрізка АВ і його середину Μ проведено паралельні прямі, що перетинають
деяку площину в точках А1, В1, M1. Знайдіть довжину відрізка В1М1, якщо АМ = 4 , MВ =
6, А1M1 = 2 і відрізок АВ не перетинає площину.

ответ:

  по следствию 2 из аксиомы 1 стереометрии:  

через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

прямые l и   m пересекаются, следовательно, лежат в одной плоскости а₁в₁в₂а₂. 

из свойства параллельных плоскостей:  

линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

  отрезки а₁в₁  и а₂в₂  параллельны, т.к. лежат в параллельных плоскостях  α и β и  являются линиями пересечения этих плоскостей с плоскостью а₁в₁в₂а₂..

в ∆ а₁ов₁ и ∆ а₁ов₁ углы при о равны как вертикальные, и углы при а₁в₁ и а₂в₂ равны как накрестлежащие   при пересечении параллельных прямых секущими l и m

следовательно, 

треугольники ∆ а₁ов₁  и ∆ а₂ов₂  подобны по равенству углов. 

тогда отношение а₁в₁:   а₂в₂=3: 4.

12: а₂в₂=3/4

3 а₂в₂=48 см

а₂в₂=16 см

  проводим касательную, проводим радиусы в точки касания, и соединяем центры. кроме того, из центра меньшей окружности проводим пепендикуляр к радиусу большей окружности, проведенном у точку касания. этот перпендикуляр равен общей касательной (там прямоугольник: получился прямоугольный треугольник со сторонами d = корень(80) - линия центров, это гипотенуза треугольника, (r - r),   и второй катет в качестве искомого расстояния.

x^2 = d^2 - (r - r)^2;

по условию r - r = 4; x^2 = 80 - 16 = 64; x = 8;