В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу. Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С = 0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0. Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0. Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0. у + 4 + 7х - 35 = 0, АС: 7х + у - 31 = 0. Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом: у = -7х + 31.
В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х". Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали. Используем формулу тангенса суммы (разности) углов: . Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:
Теперь переходим к уравнениям сторон. У параллельных прямых коэффициент к одинаков. Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД. Алгоритм решения : 1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД. 2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата. 3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.
1) Уравнение АС найдено. 2) ВД: х - 7у - 8 = 0 -7х + 49у + 56 = 0 АС: 7х + у - 31 = 0 7х + у - 31 = 0 -------------------------- 50у + 25 = 0 у = -25 / 50 = -1/2. х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5. Получили координаты точки К(4,5; -0,5).
Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK =16
––––––––––––––
а)
Пусть окружность с центром О1 касается продолжения KL в точке С.
Обе окружности вписаны в один и тот же угол МАL. Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.
Треугольник MKL- равнобедренный, следовательно, АК - его биссектриса и высота,⇒
АК⊥ML. Т.к. центры обеих окружностей лежат на АК
а угол КАМ - прямоугольный, то ML- общая касательная, и точка А - общая точка касания.
В то же время эти окружности вписаны в углы КLA и CLA соответственно, и центры окружностей лежат на биссектрисе LO - для вписанной в треугольник окружности с центром О, и биссектрисе LO1- для вневписанной окружности с центром О1.
Угол KLC- развернутый, поэтому углы КLA CLA- смежные.
LO и LО1- биссектрисы углов КLA и ALC и делят их пополам, а сумма половин смежных углов равна 90º.⇒
угол ОLО1=90º, что и требовалось доказать.
б)
Треугольник ОLO1 прямоугольный. АL в нем высота ( т.к. угол О1АL=90º).
Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, а в нашем случае - между радиусами обеих окружностей.
AL² =ОА•О1А
Длина AL неизвестна, но ее можно найти.
АК=16, ОА=6, ⇒ОК=10.
Из ⊿ КВО по т.Пифагора найдем КВ=8 ( кстати, отношение катета ОВ к гипотенузе КО=3:5 – треугольник египетский).
В ⊿ КАL отрезки АL = BL - отрезки касательных из одной точки ( свойство).
Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С = 0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0.
Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0.
Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0.
у + 4 + 7х - 35 = 0,
АС: 7х + у - 31 = 0.
Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом:
у = -7х + 31.
В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х".
Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали.
Используем формулу тангенса суммы (разности) углов:
Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:
Теперь переходим к уравнениям сторон.
У параллельных прямых коэффициент к одинаков.
Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД.
Алгоритм решения :
1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД.
2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата.
3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.
1) Уравнение АС найдено.
2) ВД: х - 7у - 8 = 0 -7х + 49у + 56 = 0
АС: 7х + у - 31 = 0 7х + у - 31 = 0
--------------------------
50у + 25 = 0
у = -25 / 50 = -1/2.
х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5.
Получили координаты точки К(4,5; -0,5).
3) Хс = 2Хк - Ха = 2*4,5 - 5 = 9 - 5 = 4.
Ус = 2Ук - Уа = 2*(-0,5) - (-4) = -1 + 4 = 3.
Уравнения сторон:
АВ: -4 = (-3/4)*5 + в в = -4 + (15/4) = (-16/4) + (15/4) = -1/4.
АВ: у = (-3/4)х - (1/4).
СД: 3 = (-3/4)*4 + в в = 3 + (12/4) = 3 + 3 = 6.
СД: у = (-3/4)х + 6.
АД: -4 = (4/3)*5 + в в = -4 - (20/3) = (-12/3) - (20/3) = -32/3
АД: у = (4/3)х - (32/3).
ВС: 3 = (4/3)*4 + в в= 3 - (6/3) = (9 - 16)/3 = -7/3.
ВС: у = (4/3)х - (7/3).
Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK =16
––––––––––––––
а)
Пусть окружность с центром О1 касается продолжения KL в точке С.
Обе окружности вписаны в один и тот же угол МАL. Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.
Треугольник MKL- равнобедренный, следовательно, АК - его биссектриса и высота,⇒
АК⊥ML. Т.к. центры обеих окружностей лежат на АК
а угол КАМ - прямоугольный, то ML- общая касательная, и точка А - общая точка касания.
В то же время эти окружности вписаны в углы КLA и CLA соответственно, и центры окружностей лежат на биссектрисе LO - для вписанной в треугольник окружности с центром О, и биссектрисе LO1- для вневписанной окружности с центром О1.
Угол KLC- развернутый, поэтому углы КLA CLA- смежные.
LO и LО1- биссектрисы углов КLA и ALC и делят их пополам, а сумма половин смежных углов равна 90º.⇒
угол ОLО1=90º, что и требовалось доказать.
б)
Треугольник ОLO1 прямоугольный. АL в нем высота ( т.к. угол О1АL=90º).
Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, а в нашем случае - между радиусами обеих окружностей.
AL² =ОА•О1А
Длина AL неизвестна, но ее можно найти.
АК=16, ОА=6, ⇒ОК=10.
Из ⊿ КВО по т.Пифагора найдем КВ=8 ( кстати, отношение катета ОВ к гипотенузе КО=3:5 – треугольник египетский).
В ⊿ КАL отрезки АL = BL - отрезки касательных из одной точки ( свойство).
Примем КL и AL =x
Тогда по т.Пифагора
КL²=KA²+AL²
(8+x)²=256+x²⇒
64+16x=256
16x=192
x=12
AL² =ОА•О1А
144=6 O1A
O1A=24 - это радиус второй окружности.