12. Дано: окружность вписана в четырехугольник ABCD; M, N, K, P- точки касания; BC = 5. Найти: AB + CD. к то Рис. 12

Катет АС противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы АВ. 

АС=5 см. 

Окружность и прямая могут касаться и иметь одну общую точку, не касаться и не иметь общих точек, или пересекаться, при этом они будут иметь  две общие точки . 

1) радиус, проведенный в точку касания, равен катету r=АС =5 см( т.к. угол ВСА=90°, а радиус перпендикулярен касательной в точке касания)

2) Окружность не будет касаться прямой ВС, если её радиус меньше катета АС. r < AC; r < 5 см

3) Окружность и прямая пересекутся, если радиус больше расстояния от центра окружности до прямой. r > AC' r > 5 см

Перпендикуляр к прямой Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра. Теорема Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. Существование. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой Дано: Прямая BC Т.A∉BC Доказать: Из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС. Доказательство: Отложим от луча ВС ∠ МВС = ∠ ABC. Т.к.∠ ABC =∠ МВС, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны ВА и ВС совместятся со сторонами ВМ и ВС.  При этом точка А наложится на некоторую точку А1 луча ВМ. Точка Н =АА1∩ ВС. При указанном наложении луч НА совмещается с лучом НА1, поэтому ∠ 1 совмещается с ∠ 2. Следовательно, ∠ l=∠ 2.  Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. АН⊥ВС ( по определению).