13. (Б) У многоугольника всего 20 диагоналей. Сколько у него сторон? 14. (Б) Разрежьте пятиконечную звезду на пять выпуклых фигур.
15. (А) Диагональ BD четырехугольника ABCD образует равные углы сего
сторонами AB и CD. Известно, что AB = CD. Докажите, что BC = AD.
16. (Б) В четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит углы BAD и BCD пополам,
Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
17. (Б) Внутри прямого угла взяли любую точку М. Её отразили симметрично
относительно сторон этого угла и получили точки M, и М. Докажите, что
вершина угла лежит на середине отрезка M, M..
18. (Б) В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Его диагонали тоже
равны и пересекаются в точке 0. Докажите, что АО = D0.
19. (А) Прямая пересекает две параллельные в точках А и В. Биссектрисы двух
смежных углов с вершиной в точке В при одной из этих прямых пересекают
другую параллельную прямую в точках Си Е. Докажите, что AC = AE.
20. (А) В пятиугольнике ABCDE стороны AB и DE параллельны, а углы ABC и CDE
равны 100° и 120° соответственно. Найдите величину угла BCD.
2
Внутри треугольника АВС взята точка D такая, что угол ABD = угол ACD = 45°. Докажите, что отрезки AD и BC перпендикулярны и равны, если угол ВАС равен 45°
* * *
Продлим ВD до пересечения с АС в т.Н, а отрезок СD - до пересечения с АВ в т.К и проведем АМ через т.D.
∠АСD=45° по условию, Если ∠ВАС=45°, то ∠АКС=90° и ∆ АСК – равнобедренный прямоугольный. АК=СК.
В ∆ АВН два угла при АВ равны 45°⇒∠ВНА=90° и ∆ АВН - равнобедренный прямоугольный, Тогда точка D - пересечение высот СК и ВН треугольника АВС. Отрезок АМ, содержащий АD, проходит через точку пересечения высот, следовательно, является высотой и перпендикулярен ВС. Отсюда АD⊥ВС. Доказано.
Прямоугольные ⊿ АКD и ⊿ CMD подобны по равному углу при вершине D ( вертикальные) ⇒ ∠КАD=∠MCD.
Рассмотрим ⊿ АКD и ⊿ ВКС. Из ⊿ АКС их катеты АК=СК. Острые ∠КАD и ∠КСВ равны (из доказанного выше). Следовательно, ⊿ АКD=⊿ ВКС по катету и острому углу. Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников. АD=ВС, ч.т.д.
ОА=ОС=х, ОВ=у.
1) 6²=х²+у²-2хуcos120°=x²+y²+xy=36.
2) 4²=x²+y²+2xycos60°=x²+y²-xy=16.
Вычтем из первого уравнения второе 2ху =20.
ху=10. у=10/х. Подставим в первое
х²+100/х²+х·(10/х)=36,
х²+10/х²+10=36,
х²+10/х²-26=0,
Пусть х²=к,
к+10/к-26=0,
к²-26к+10=0.
к=13+-√156≈13+-12,6.
к1=25,6; к2= 0,4 не рассматриваем
х=√25,6≈5,1.
Подставим в первое уравнение
х²+у²+ху=36,
26,01+у²+5,1у=36,
у²+5,1у-9,99=0,
у=1,5.длина диагоналей параллелограмма: 5,1·2=10,2; 1,5·2=3.
Площадь S= 0,5·10,2·3·sin60°=7.65/
ответ: 7,65.