13. Угол AOB делится лучом OS на два угла и определяется градусная мера угла ∟АОВ = 540, ∟АОС = 220, СОВ. А) 760 б) 320 в) 300
14. На сколько частей делятся две пересекающиеся прямые плоскости?
А) 2 б) 4 в) 5
15. Прямой угол разделен на четыре части, одна из которых в 2,3,4 раза меньше остальных соответственно. Найдите значения этих частей угла.
А) 450 540 720 б) 360 540 720 180 в) 300 600 850,50
Проведём отрезок СЕ параллельно диагонали ВD => AC перпендикулярен СЕ.
Также проведём отрезок СК параллельно отрезку МN
Из этого следует, что четырёхугольник ВСЕD - параллелограмм ( СЕ || ВD , BC || DE ).
Aналогично, четырёхугольник МСКN - параллелограмм ( CK || MN, МС || KN )
Поэтому, BC = DE , MC = NK, BD = CE = 13
AE = AD + DE = AD + BC
AK = AN + NK = (1/2) × AD + (1/2) × BC = (1/2) × ( ВС + AD )
Значит, K - середина отрезка АЕ , АК = КЕ
Поэтому , МN = CK - медиана в ∆ АСЕ
2) Рассмотрим ∆ АСЕ ( угол АСЕ = 90° ):
" В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы " →
По теореме Пифагора:
AE² = 13² + 5² = 169 + 25 = 194
AE = √194
Значит, искомый отрезок MN, равный отрезку СК, имеет длину:
СК = MN = (1/2) × AE = (1/2) × √194 = √194/2
ОТВЕТ: √194/2
___________________
Пусть ВС = а, AD = b, тогда
1) ∆ AOD подобен ∆ ВОС по двум углам ( ВС || AD ) → AD/BC = OD/BO = OA/CO = b/a
2) ∆ ABD подобен ∆ MBO по двум углам ( AD || MO) → AD/МО = АВ/BM = BD/BO
AD/MO = BD/BO = ( BO + OD)/BO = 1 + ( OD/BO ) = 1 + b/a = ( a + b )/a
AD/MO = ( a + b )/a → AD = b
MO = a·b/( a + b )
Аналогично через подобие треугольников получаем, что
ON = a·b/( a + b )
Значит, MN = MO + ON = 2·a·b/( a + b )
MN = MO + ON = 2·a·b/( a + b )
3 = 2·4·a/( a + 4 )
8a = 3·( a + 4 )
8a = 3a + 12
5a = 12
a = 12/5 = 2,4
Значит, ВС = 2,4
3) Рассмотрим ∆ ACD:
AE = EC, ES || AD → ES – средняя линия. Значит, ES = ( 1/2 )·AD
Рассмотрим ∆ BCD:
FS – средняя линия →
FS = ( 1/2 )·BC
EF = ES –FS = ( 1/2 )·AD – ( 1/2 )·BC = ( 1/2 )·( AD – BC )
Значит, EF = ( 1/2 )·( b – a )
EF = ( 1/2 )·( 4 – 2,4) = ( 1/2 )·1,6 = 0,8
ОТВЕТ: ВС = 2,4 ; EF = 0,8