157. a)* в прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D, известны ребра AB = 3, AD = 2 и AA1 = 1. Найдите: 1) расстояние между скрещивающи- мися прямыми А1В и В1С; 2) угол между прямыми A1B и B1C 3) угол между прямой DD1 и плоскостью А1BC1 4) угол между плоскостями А1BC1 и AB1D1 Б)* в тетраэдре DABC все плоские углы с вершиной D - прямые, DA = DB = DC = 2, точки К и M - середины рёбер AD и BD. Найдите: 1) расстояние между скрещивающимися прямыми AM и СК; 2) угол между прямыми AM и CK; 3) угол между прямой AB и плоскостью BCK, 4) угол между плоскостями ACM и BCK
подробно)

Вписанные углы опирающиеся на диаметр равны по 90°, поэтому ∠ADC=90°=∠CBA.

Треугольник ADC - равнобедренный (DA=DC) и прямоугольный (∠ADC=90°), поэтому углы при его основании равны по 45°. ∠DAC=45°=∠DCA

Треугольник ABC - прямоугольный (∠CBA=90°), так же 2AB=AC. Угол лежащий напротив катета, который вдвое меньше гипотенузы равен 30°, поэтому ∠BCA=30°. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет 90°, поэтому ∠BАС=60°.

∠BAD = ∠BAC+∠DAC = 60°+45° = 105°

∠BCD = ∠BCA+∠DCA = 30°+45° = 75°

ответ: ∠BAD=105°; ∠BСD=75°.

Дано: ΔABC - прямоугольный, ∠C = 90°, ∠ABC = 60°, AC = 6 см.

Найти: а) AB; б) CD

Решение: 1) Рассмотрим ΔABC: ∠ABC = 60°, ∠C = 90°, ∠A = 30° (т. к. 180° - (90° + 60°) = 30); Найдем сторону AB через синус угла ABC (синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе): sin60° = = = ; Отсюда AB = = см.

2) Рассмотрим ΔACD, в котором ∠D = 90°, а ∠CAD = 30° (из 1); Согласно свойству прямоугольного треугольника с углом в 30°, катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, CD = 1/2*AC = 1/2*6 = 3 см.

ответ: а) см; б) CD = 3 см.