1) Для нахождения производной функции f(x) = x^6 + 3x^4 + 1.5 нужно применить правило дифференцирования степенной функции.
f'(x) = 6x^5 + 12x^3 + 0
Обоснование: Правило дифференцирования степенной функции состоит в умножении показателя степени на коэффициент перед x и уменьшении показателя степени на 1.
2) Для нахождения производной функции f(x) = 2x^-5 + 4 √x нужно применить правила дифференцирования степенной функции и корневой функции.
f'(x) = -10x^-6 + (4/2) * (1/2) * x^(-1/2)
Обоснование: Правила дифференцирования степенной функции и корневой функции дает нам результаты, согласно которым показатель степени умножается на коэффициент перед x, и уменьшается на 1, а в случае корневой функции, мы умножаем на 1/2 и уменьшаем показатель степени на 1/2.
3) Для нахождения производной функции f(x) = cos(3x + 8) нужно применить правило дифференцирования составной функции.
f'(x) = -sin(3x + 8) * 3
Обоснование: Правило дифференцирования составной функции гласит, что мы должны умножить производную внешней функции на производную внутренней функции.
4) Для нахождения производной функции f(x) = (4x + 3)^5 нужно применить правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования линейной функции.
f'(x) = 5(4x + 3)^4 * 4
Обоснование: Правило дифференцирования степенной функции даёт нам результат, согласно которому мы умножаем производную внутренней функции на степень исходной функции, а правило дифференцирования линейной функции позволяет нам взять производную линейной функции (4x + 3), которая равна 4.
5) Для нахождения производной функции f(x) = x^4(6x - 2) нужно применить правило дифференцирования произведения функций и правило дифференцирования степенной функции.
f'(x) = 4x^3(6x - 2) + x^4(6)
Обоснование: Правило дифференцирования произведения функций состоит в умножении первой функции на производную второй функции, и в добавлении второй функции, умноженной на производную первой функции.
6) Для нахождения производной функции f(x) = 5 - (3x / 4x) нужно применить правило дифференцирования разности функций и правило дифференцирования дроби.
f'(x) = 0 - [(3 * 4x - 3x * 4) / (4x)^2]
f'(x) = -12 / (4x)^2
Обоснование: Правило дифференцирования разности функций позволяет нам взять производную каждой из функций и вычесть их. Правило дифференцирования дроби гласит, что для производных к нам дифференцируемой функции нам нужно применять правило для числителя и знаменателя, и делить их.
f'(x) = 6x^5 + 12x^3 + 0
Обоснование: Правило дифференцирования степенной функции состоит в умножении показателя степени на коэффициент перед x и уменьшении показателя степени на 1.
2) Для нахождения производной функции f(x) = 2x^-5 + 4 √x нужно применить правила дифференцирования степенной функции и корневой функции.
f'(x) = -10x^-6 + (4/2) * (1/2) * x^(-1/2)
Обоснование: Правила дифференцирования степенной функции и корневой функции дает нам результаты, согласно которым показатель степени умножается на коэффициент перед x, и уменьшается на 1, а в случае корневой функции, мы умножаем на 1/2 и уменьшаем показатель степени на 1/2.
3) Для нахождения производной функции f(x) = cos(3x + 8) нужно применить правило дифференцирования составной функции.
f'(x) = -sin(3x + 8) * 3
Обоснование: Правило дифференцирования составной функции гласит, что мы должны умножить производную внешней функции на производную внутренней функции.
4) Для нахождения производной функции f(x) = (4x + 3)^5 нужно применить правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования линейной функции.
f'(x) = 5(4x + 3)^4 * 4
Обоснование: Правило дифференцирования степенной функции даёт нам результат, согласно которому мы умножаем производную внутренней функции на степень исходной функции, а правило дифференцирования линейной функции позволяет нам взять производную линейной функции (4x + 3), которая равна 4.
5) Для нахождения производной функции f(x) = x^4(6x - 2) нужно применить правило дифференцирования произведения функций и правило дифференцирования степенной функции.
f'(x) = 4x^3(6x - 2) + x^4(6)
Обоснование: Правило дифференцирования произведения функций состоит в умножении первой функции на производную второй функции, и в добавлении второй функции, умноженной на производную первой функции.
6) Для нахождения производной функции f(x) = 5 - (3x / 4x) нужно применить правило дифференцирования разности функций и правило дифференцирования дроби.
f'(x) = 0 - [(3 * 4x - 3x * 4) / (4x)^2]
f'(x) = -12 / (4x)^2
Обоснование: Правило дифференцирования разности функций позволяет нам взять производную каждой из функций и вычесть их. Правило дифференцирования дроби гласит, что для производных к нам дифференцируемой функции нам нужно применять правило для числителя и знаменателя, и делить их.