2.18. 1) На рисунке 2.15 ZHKM = ZMNH, KO = ON. Докажите, что ZHKN = ZKNM. 2) Точки M и E распо- ложены по разные стороны от прямой OP так, что OM = PE и EMPO = ZPOE. До- кажите, что ZMOE = ZEРМ и ДМРЕ AEOM. Пас.
Для доказательства этого факта, нам пригодится знание о свойствах углов, прямых и равенства треугольников.
Шаг 1: Рассмотрим треугольники ZHK и ZON.
У нас есть параллельные прямые HP и ON, и вертикальные углы ZHK и ZON, образованные пересечением этих прямых, будут равными. Это следует из теоремы о параллельных линиях и их углах.
[img src="//i.imgur.com/JVAXcJa.png" alt="Шаг 1" width="200px"/]
ZHK = ZON (1)
Шаг 2: Рассмотрим треугольники KHO и NOH.
У нас есть сторона KO равна стороне ON, и две стороны равнымся сторонам и общему углу. Поэтому, по теореме о равенстве треугольников, треугольники KHO и NOH равны между собой.
[img src="//i.imgur.com/NqTu5u3.png" alt="Шаг 2" width="200px"/]
KHO ≡ NOH (2)
Шаг 3: Рассмотрим треугольники MZK и HZN.
У нас есть 2 параллельные прямые MP и HN, и два вертикальных угла ZMK и ZHN.
Таким образом, по аналогичному рассуждению, углы ZMK и ZHN равны.
[img src="//i.imgur.com/VRoSYZU.png" alt="Шаг 3" width="200px"/]
ZMK = ZHN (3)
Шаг 4:
Теперь у нас есть равенства (1) и (3), и мы хотим доказать, что углы ZHKN и ZKNM также равны. Давайте рассмотрим треугольник ZHK и треугольник ZNM.
Мы знаем, что ZHK равно ZON (из шага 1), и ZMK равно ZHN (из шага 3).
[img src="//i.imgur.com/YwPMTgO.png" alt="Шаг 4" width="200px"/]
Теперь рассмотрим углы ZHKN и ZKNM:
ZHKN = ZHK + ZMK (по свойству суммы углов треугольника)
ZHKN = ZON + ZHN (подставляем равенства из шага 1 и 3)
ZHKN = ZNO + ZHN (по свойству равенства углов)
ZHKN = ZNM (по свойству суммы углов треугольника)
Таким образом, мы доказали, что ZHKN = ZKNM.
2) Дано, что OM = PE и EMPO = ZPOE, требуется доказать, что ZMOE = ZEРМ и ДМРЕ = AEOM.
Рассмотрим треугольник ZMO и треугольник EPR.
У нас есть равенства сторон OM = PE и углы EMPO = ZPOE.
Таким образом, по теореме о равенстве треугольников, треугольники ZMO и EPR равны между собой.
Теперь рассмотрим углы ZMOE и ZEРМ:
ZMOE = ZMO - EMPO (по свойству разности углов)
ZMOE = ZMO - ZPOE (подставляем равенство углов EMPO = ZPOE)
ZMOE = ZMO
1) Дано, что ZHKM = ZMNH и KO = ON, требуется доказать, что ZHKN = ZKNM.
2.15:
[img src="//i.imgur.com/poWWa5Z.jpg" alt="2.15 рисунок" width="200px"/]
Для доказательства этого факта, нам пригодится знание о свойствах углов, прямых и равенства треугольников.
Шаг 1: Рассмотрим треугольники ZHK и ZON.
У нас есть параллельные прямые HP и ON, и вертикальные углы ZHK и ZON, образованные пересечением этих прямых, будут равными. Это следует из теоремы о параллельных линиях и их углах.
[img src="//i.imgur.com/JVAXcJa.png" alt="Шаг 1" width="200px"/]
ZHK = ZON (1)
Шаг 2: Рассмотрим треугольники KHO и NOH.
У нас есть сторона KO равна стороне ON, и две стороны равнымся сторонам и общему углу. Поэтому, по теореме о равенстве треугольников, треугольники KHO и NOH равны между собой.
[img src="//i.imgur.com/NqTu5u3.png" alt="Шаг 2" width="200px"/]
KHO ≡ NOH (2)
Шаг 3: Рассмотрим треугольники MZK и HZN.
У нас есть 2 параллельные прямые MP и HN, и два вертикальных угла ZMK и ZHN.
Таким образом, по аналогичному рассуждению, углы ZMK и ZHN равны.
[img src="//i.imgur.com/VRoSYZU.png" alt="Шаг 3" width="200px"/]
ZMK = ZHN (3)
Шаг 4:
Теперь у нас есть равенства (1) и (3), и мы хотим доказать, что углы ZHKN и ZKNM также равны. Давайте рассмотрим треугольник ZHK и треугольник ZNM.
Мы знаем, что ZHK равно ZON (из шага 1), и ZMK равно ZHN (из шага 3).
[img src="//i.imgur.com/YwPMTgO.png" alt="Шаг 4" width="200px"/]
Теперь рассмотрим углы ZHKN и ZKNM:
ZHKN = ZHK + ZMK (по свойству суммы углов треугольника)
ZHKN = ZON + ZHN (подставляем равенства из шага 1 и 3)
ZHKN = ZNO + ZHN (по свойству равенства углов)
ZHKN = ZNM (по свойству суммы углов треугольника)
Таким образом, мы доказали, что ZHKN = ZKNM.
2) Дано, что OM = PE и EMPO = ZPOE, требуется доказать, что ZMOE = ZEРМ и ДМРЕ = AEOM.
Рассмотрим треугольник ZMO и треугольник EPR.
У нас есть равенства сторон OM = PE и углы EMPO = ZPOE.
Таким образом, по теореме о равенстве треугольников, треугольники ZMO и EPR равны между собой.
Теперь рассмотрим углы ZMOE и ZEРМ:
ZMOE = ZMO - EMPO (по свойству разности углов)
ZMOE = ZMO - ZPOE (подставляем равенство углов EMPO = ZPOE)
ZMOE = ZMO
Аналогично, рассмотрим углы ДМРЕ и AEOM:
ДМРЕ = EMPO - ZMO (по свойству разности углов)
ДМРЕ = ZPOE - ZMO (подставляем равенство углов EMPO = ZPOE)
ДМРЕ = - ZMO + ZPOE
ДМРЕ = AEOM
Таким образом, мы доказали, что ZMOE = ZEРМ и ДМРЕ = AEOM.
Спасибо, что задали этот вопрос! Если у вас возникнут ещё какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!