2 часа уже сижу, не могу решить((( Точка М удалена от всех сторон квадрата ABCD на 8 см. Найдите тангенс угла между прямой АМ и плоскостью квадрата, если плоскость АМВ образует с плоскостью квадрата угол 60 °.

Точка М віддалена від усіх сторін квадрата ABCD на 8 см. Знайдіть тангенс кута між прямою АМ і площиною квадрата, якщо площина АМВ утворює з площиною квадрата кут 60°.

Чертим пирамиду, диагонали основания (АС) и (ВD), высоту пирамиды SO. О - точка пересечения (АС) и (ВD) и центр квадрата АВСD. Треугольник АSC равен треугольнику АВС по трем сторонам. Значит треугольник ASC прямоугольный равнобедренный. АС=sqrt(2), AO=OC=OS=sqrt(2)/2.
Все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники со стороной 1. Апофемы пирамиды равны высотам этих треугольников и равны sqrt(3)/2. Проведем сечение через вершину пирамиды S и середины ребер AD (точка М) и ВС (точка N). Угол между АВ и плоскостью треугольника SAD равен углу между АВ и SM, значит равен углу между SM и NM или углу SMO.
Из треугольника SOM получаем: cos(SMO)=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3.

треугольник АВС, АС основание, ВН высота на АС, АМ - медиана на ВС, ВМ=МС, СК биссектриса угла С, МН-отрезо, О - пересечение отрезка и биссектрисы, КО=ОС, ОН=ОМ, треугольник МНС прямоугольный, МН-медиана в этом треугольнике=1/2 гипотенузы ВС=ВМ=МС, треугольник МНС равнобедренный, МН=МС, но СО биссектриса=медиане (ОН=ОМ). значит треугольник равносторонний, все углы=60, ОМ- средняя линия треугольника КВС и параллельна ВК, тогда уголНМС=60=уголВ как соответственные, уголС=180-60-60=60, треугольник АВС равносторонний