2. Дан четырехугольник ABCD.
1) Определите вид четырехугольника ABCD, если ВС=—AD, и выразите вектор CD через векторы АВ = а и AD — b .
2) Выразите векторы AN,DM,PQ через векторы а и b , если М, N, Р и Q - середины сторон АВ, ВС, CD и AD.
3) Определите вид четырехугольника MNPQ.
Объяснение:
1)
В четырехугольник можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна сумме двух других противоположных сторон.
МК+ЕF=ME+KF.
P=2(MK+EF)=2*40=80ед.
ответ: 80ед.
2)
АD=BC.
Две касательные проведенные из одной точки равны между собой.
АВ=2*12=24ед
DC=2*15=30ед.
ответ: АВ=24ед; DC=30ед.
3)
В четырехугольник можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна сумме двух других противоположных сторон.
АВ+СD=BC+AD.
P=2(AB+CD)=2(6+9)=2*15=30ед.
ответ: 30ед.
4)
Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равна 180°
<М+<К=180°. →
<К=180°-<К=180°-53°=127°
Аналогично для двух других углов
<Е+<N=180°
<N=180°-<E=180°-75°=105°
ответ: <К=127°; <N=105°
5)
В четырехугольник можно вписать окружность если сумма противоположных сторон равна сумме двух других противоположных сторон
MN+KL=P/2
Пусть MN=2x; KL=7x.
Уравнение
2х+7х=54/2
9х=27
х=3
МN=2x=2*3=6ед.
KL=7x=7*3=21ед.
NK=6x=6*3=18ед.
LM=(MN+KL-NK)=6+21-18=9ед.
ответ: MN=6ед; KL=21ед; NK=18ед; LM=9ед.
S(∆DCB)=270ед²
S(∆BOA)=96ед²
S(∆DBA)=150ед²
S(∆DKA)=84ед²
Объяснение:
Рассмотрим треугольник ∆DCB.
Теорема Пифагора
DB=√(DC²-CB²)=√(39²-36²)=√(1521-1296)=
=√225=15ед.
S(∆DCB)=½*DB*CB=½*36*15=270ед².
Рассмотрим треугольник ∆ВОА
S(∆BOA)=½*BO*OA=½*12*16=96ед²
Теорема Пифагора
ВА=√(ВО²+ОА²)=√(12²+16²)=√(144+256)=
=√400=20ед.
Рассмотрим треугольник ∆DBA
<DBA=90°
DB=15ед
ВА=20ед.
S(∆DBA)=½*DB*BA=1/2*15*20=150ед²
Теорема Пифагора
DA=√(DB²+BA²)=√(15²+20²)=√(225+400)=
=√625=25ед.
Рассмотрим треугольник ∆DKA.
DA=25ед
По теореме Пифагора
DK=√(DA²-KA²)=√(25²-24²)=√(625-576)=
=√49=7ед.
S(∆DKA)=½*DK*KA=1/2*7*24=84ед²