Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.
1. Рассмотрим ΔAA₁D₁ - прямоугольный.
Противоположные сторона прямоугольника равны.
⇒ AD = A₁D₁
По теореме Пифагора:
2. Рассмотрим ΔABD₁.
AB ⊥ AD
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
⇒ ΔABD₁ = прямоугольный.
AB = BD₁= 5
⇒ ΔABD₁ - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
⇒ ∠BD₁A = ∠ABD₁
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В данном случае необходимо использовать обратную теорему Пифагора. Которая гласит, что, если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c2 = a 2 + b 2 , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне c.
Так как сумма квадратов сторон треугольника МРК - MP и KP - равна квадрату большей стороны - MK:
9^2+12^2=15^2,значит треугольник-прямоугольный,то есть его площадь равна половине произведения катетов MPи KP:
S=9*12/2=54.
Если в треугольнике провести высоту PH, например, то она будет являться высотой и для треугольника МРК, и для треугольника КРТ. Таким образом, получаем, что:
Sкрт=1/2 * РН*КТ
Sмрк=1/2 * РН*МК
Данные площади относятся, как КТ/МК, то есть, как 10/15= 2/3 -> площадь треугольника КРТ равна 2*Sмрк /3 = 2* 54/3=36
Получается, что площадь второго треугольника - треугольника МРТ - равна 1/3 площади основного треугольника, то есть 18.
45°
Объяснение:
152. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед;
AB = 5; AD = 4; AA₁ = 3
Найти: ∠ABD₁.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.1. Рассмотрим ΔAA₁D₁ - прямоугольный.
Противоположные сторона прямоугольника равны.⇒ AD = A₁D₁
По теореме Пифагора:
2. Рассмотрим ΔABD₁.
AB ⊥ AD
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.⇒ ΔABD₁ = прямоугольный.
AB = BD₁= 5
⇒ ΔABD₁ - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠BD₁A = ∠ABD₁
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.⇒ ∠BD₁A = ∠ABD₁ = 90°:2 = 45°
153. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед;
АВ = 4; AD = 3; AA₁ = 5.
Найти: ∠DBD₁
Рассмотрим ΔADB - прямоугольный.
По теореме Пифагора:
Рассмотрим ΔDD₁B - прямоугольный.
AA₁ = DD₁ = 5 (противоположные стороны прямоугольника AA₁D₁D)
BD = DD₁=5
⇒ ΔDD₁B - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠DBD₁ = ∠DD₁B
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.⇒ ∠DBD₁ = ∠DD₁B = 90° :2 = 45°
В данном случае необходимо использовать обратную теорему Пифагора. Которая гласит, что, если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c2 = a 2 + b 2 , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне c.
Так как сумма квадратов сторон треугольника МРК - MP и KP - равна квадрату большей стороны - MK:
9^2+12^2=15^2,значит треугольник-прямоугольный,то есть его площадь равна половине произведения катетов MPи KP:
S=9*12/2=54.
Если в треугольнике провести высоту PH, например, то она будет являться высотой и для треугольника МРК, и для треугольника КРТ. Таким образом, получаем, что:
Sкрт=1/2 * РН*КТ
Sмрк=1/2 * РН*МК
Данные площади относятся, как КТ/МК, то есть, как 10/15= 2/3 -> площадь треугольника КРТ равна 2*Sмрк /3 = 2* 54/3=36
Получается, что площадь второго треугольника - треугольника МРТ - равна 1/3 площади основного треугольника, то есть 18.
ответ: 18 и 36