2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением х^2 + у^2 + z^2 - 8х +4y + 2z -4=0. Как расположены точки А(4; 2; 2) и С (5; 1; 2) относительно сферы?
Р2=4*А1Д1=4√2 см - периметр нижнего основания пирамиды.
Найдем апофему L
Основания усеченной пирамиды - квадраты. Проведем из центров оснований перпендикуляры ОМ⊥ДС и О1М1⊥Д1С1. ОМ и О1М1 - радиусы вписанных окружностей в основания.
Т.к. r=a /2 (половина стороны основания), то
О1М1= А1Д1/2 =
ОМ = АД/2 =
Опустим перпендикуляр М1К из точки М1 верхнего основания на нижнее основание. Получим прямоугольный ΔМ1КМ.
Т.к. М1К⊥КМ, КМ⊥ДС, то М1М⊥ДС ( по теореме о трёх перпендикулярах) ⇒∠М1МК = 60° (это данный нам линейный угол двугранного угла при ребре большего основания).
КМ = разнице расстояний от центров оснований до боковых сторон, то есть КМ = ОМ-О1М1= - = см.
Тогда гипотенуза (апофема) L = ММ1 = КМ / cos 60° = : = 2 cм
урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – = АВ2+ВС2 -2×АВ×ВС×cos∠АСВ
Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:
а) тупого угла,
б) прямого угла,
в) острого угла.
По теореме о площади треугольника:
а) площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними,
б) площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на угол между ними,
в) площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Для нахождения площади параллелограмма выберите верные формулы (рис.4):
а) S = ½ ·a · h;
б) S = ½ ·a · b · sin α;
в) S = a · b · sin α;
г) S = a · h.
Рисунок 4
В треугольнике ABC ÐА = 30°, ВС = 3. Радиус описанной около ∆ABC окружности равен:
а) 1,5
б) 2√3
в) 3.
ответы к тесту: Учитель называет и показывает правильные ответы (презентация ИКТ), учащиеся сами проверяют свои ответы, оценивая каждый правильный ответ и записывают свои на полях. 1 – б; 2 – а; 3 – б; 4 – в; 5 – в, г; 6 – а.
III. Коррекция основных знаний (10 мин):
Групповая работа: класс разбивается на три группы:
1 группа (4 человека): работа на дополнительных досках:
Докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).
Докажите теорему синусов.
Докажите теорему косинусов методом координат.
Докажите теорему косинусов через высоту треугольника.
2 группа (6 человек): работа по индивидуальным карточкам, задания которых дифференцированы по уровням:
1 уровень (базовый): 2 человека.
Запишите формулу для вычисления (рис. 5):
а) MN, если MK = a, NK = b, ∠K = α;
б) MK, если MK = a, ∠M = α, ∠K = β;
в) ∠M, если MN = a, NK = b, MK = c.
Рисунок 5
Вычислите площадь треугольника MNK, если MK = 8, ∠K = 60°, ∠N = 30°.
2 уровень (повышенный с элементами углубленного изучения): 2 человека.
Выясните, является ли треугольник тупоугольным, если его стороны равны 6,7 и 10.
В параллелограмме АВСD: АВ = 5, АD = 8, диагональBD = 9. Найти диагональ АС.
3 уровень (высокий): 2 человека.
Решите треугольник АВС, если АС = 20√2, ВС = 25, ∠ А= 45°.
Найти углы параллелограмма, если квадрат его диагонали равен неполному квадрату разности его сторон.
3 группа (остальные учащиеся): решение типовых задач по готовым чертежам.
Рекомендация: при решении задач особое внимание уделять выбору теоремы (т. е. выбору той теоремы, которая позволяет решить задачу наиболее рационально). За каждую правильно решенную задачу, ученик получает и записывает его на полях рабочей тетради, с целью установления накопительного за урок, который по его окончанию переводится в оценку.
1. Найти АВ (рис.6)
Рисунок 6
2. Найти ∠В (рис.7)
Рисунок 7
3. Найти ВС (рис.8)
Рисунок 8
4. Найти ∠А (рис.9)
Рисунок 9
5. Найти АВ (рис.10)
Рисунок 10
6. Найти ∠В (рис.11)
Рисунок 11
ответы:
АВ =
∠В = 60°
ВС =
∠А = 15°
АВ =
∠В = 75°
IV. Самостоятельная деятельность учащихся на уроке (16 мин).
Учащимся предлагаются последовательно задачи, которые они решают в тетрадях самостоятельно. В процессе самостоятельного решения задач учитель оказывает индивидуальную по необходимости контролирует правильность решения задач менее подготовленными учащимися. Одновременно, те же задачи решают ученики на дополнительной доске. Через временной промежуток (5 - 6 мин), ученики проверяют свои записи с решениями, представленным в презентации (ИКТ) и учениками на дополнительных досках. За каждую правильно решенную задачу, ученик получает и записывает его на полях рабочей тетради, с целью установления накопительного за урок, который по его окончанию переводится в оценку. Таким образом, ученик самостоятельно организовывает свою деятельность на уроке.
Задача №1: Решите треугольник (рис. 12).
Рисунок 12
Задача № 2: Решите треугольник (рис.13).
Рисунок 13
Задача № 3:Решите треугольник (рис.14).
Рисунок 14
Задача № 4:Решите треугольник (рис.15).
Рисунок 15
V.Историческая справка (4-5 мин). Сообщения учеников (3 - 4 мин), которые они готовили самостоятельно с использованием ИКТ к данному уроку.
Примерные содержания сообщений:
1. Первые шаги на пути к таблицам синусов
Тригонометрия берёт своё начало в древней Греции. Для решения прямоугольного треугольника, определения его элементов по трём данным сторонам треугольника вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих различным центральным углам круга постоянного радиуса. Эти таблицы были составлены астрономом-математиком Гиппархом из Никели (2 в. до н.э.).
Знаменитое сочинение – Альмагест астронома Клавдия Птолемея включает в себя звёздный каталог таблиц хорд. Таблица хорд Птолемея составлена в шестидесятеричной системе счисления через полградуса и играла роль таблицы синусов (полухорд). Таблицы синусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и 5 вв. В 15 по теореме косинусов
32 cм²
Объяснение:
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:
Sбок= 1/2*(Р1+Р2)*L,
где Р1 и Р2 - периметры оснований пирамиды, L - апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды)
Найдём стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды.
Диагональ квадрата: d = a√2, где а - сторона квадрата.
⇒ а = d/√2
АД = 6/√2 = 3√2, А1Д1= 2/√2 = √2.
Р1=4*АД= 4 * 3√2 = 12√2 см - периметр верхнего основания.
Р2=4*А1Д1=4√2 см - периметр нижнего основания пирамиды.
Найдем апофему L
Основания усеченной пирамиды - квадраты. Проведем из центров оснований перпендикуляры ОМ⊥ДС и О1М1⊥Д1С1. ОМ и О1М1 - радиусы вписанных окружностей в основания.
Т.к. r=a /2 (половина стороны основания), то
О1М1= А1Д1/2 =
ОМ = АД/2 =
Опустим перпендикуляр М1К из точки М1 верхнего основания на нижнее основание. Получим прямоугольный ΔМ1КМ.
Т.к. М1К⊥КМ, КМ⊥ДС, то М1М⊥ДС ( по теореме о трёх перпендикулярах) ⇒∠М1МК = 60° (это данный нам линейный угол двугранного угла при ребре большего основания).
КМ = разнице расстояний от центров оснований до боковых сторон, то есть КМ = ОМ-О1М1=
- 
= 
см.
Тогда гипотенуза (апофема) L = ММ1 = КМ / cos 60° =
: 
= 2
cм
Sбок =
* ( 12
+ 4
) * 2
= 
(12+4) 
= 2*16=32 cм²
Объяснение:
урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – = АВ2+ВС2 -2×АВ×ВС×cos∠АСВ
Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:
а) тупого угла,
б) прямого угла,
в) острого угла.
По теореме о площади треугольника:
а) площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними,
б) площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на угол между ними,
в) площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Для нахождения площади параллелограмма выберите верные формулы (рис.4):
а) S = ½ ·a · h;
б) S = ½ ·a · b · sin α;
в) S = a · b · sin α;
г) S = a · h.
Рисунок 4
В треугольнике ABC ÐА = 30°, ВС = 3. Радиус описанной около ∆ABC окружности равен:
а) 1,5
б) 2√3
в) 3.
ответы к тесту: Учитель называет и показывает правильные ответы (презентация ИКТ), учащиеся сами проверяют свои ответы, оценивая каждый правильный ответ и записывают свои на полях. 1 – б; 2 – а; 3 – б; 4 – в; 5 – в, г; 6 – а.
III. Коррекция основных знаний (10 мин):
Групповая работа: класс разбивается на три группы:
1 группа (4 человека): работа на дополнительных досках:
Докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).
Докажите теорему синусов.
Докажите теорему косинусов методом координат.
Докажите теорему косинусов через высоту треугольника.
2 группа (6 человек): работа по индивидуальным карточкам, задания которых дифференцированы по уровням:
1 уровень (базовый): 2 человека.
Запишите формулу для вычисления (рис. 5):
а) MN, если MK = a, NK = b, ∠K = α;
б) MK, если MK = a, ∠M = α, ∠K = β;
в) ∠M, если MN = a, NK = b, MK = c.
Рисунок 5
Вычислите площадь треугольника MNK, если MK = 8, ∠K = 60°, ∠N = 30°.
2 уровень (повышенный с элементами углубленного изучения): 2 человека.
Решите треугольник АВС, если АВ = 6, ВС = 8, ∠С = 45°.
Выясните, является ли треугольник тупоугольным, если его стороны равны 6,7 и 10.
В параллелограмме АВСD: АВ = 5, АD = 8, диагональBD = 9. Найти диагональ АС.
3 уровень (высокий): 2 человека.
Решите треугольник АВС, если АС = 20√2, ВС = 25, ∠ А= 45°.
Найти углы параллелограмма, если квадрат его диагонали равен неполному квадрату разности его сторон.
3 группа (остальные учащиеся): решение типовых задач по готовым чертежам.
Рекомендация: при решении задач особое внимание уделять выбору теоремы (т. е. выбору той теоремы, которая позволяет решить задачу наиболее рационально). За каждую правильно решенную задачу, ученик получает и записывает его на полях рабочей тетради, с целью установления накопительного за урок, который по его окончанию переводится в оценку.
1. Найти АВ (рис.6)
Рисунок 6
2. Найти ∠В (рис.7)
Рисунок 7
3. Найти ВС (рис.8)
Рисунок 8
4. Найти ∠А (рис.9)
Рисунок 9
5. Найти АВ (рис.10)
Рисунок 10
6. Найти ∠В (рис.11)
Рисунок 11
ответы:
АВ =
∠В = 60°
ВС =
∠А = 15°
АВ =
∠В = 75°
IV. Самостоятельная деятельность учащихся на уроке (16 мин).
Учащимся предлагаются последовательно задачи, которые они решают в тетрадях самостоятельно. В процессе самостоятельного решения задач учитель оказывает индивидуальную по необходимости контролирует правильность решения задач менее подготовленными учащимися. Одновременно, те же задачи решают ученики на дополнительной доске. Через временной промежуток (5 - 6 мин), ученики проверяют свои записи с решениями, представленным в презентации (ИКТ) и учениками на дополнительных досках. За каждую правильно решенную задачу, ученик получает и записывает его на полях рабочей тетради, с целью установления накопительного за урок, который по его окончанию переводится в оценку. Таким образом, ученик самостоятельно организовывает свою деятельность на уроке.
Задача №1: Решите треугольник (рис. 12).
Рисунок 12
Задача № 2: Решите треугольник (рис.13).
Рисунок 13
Задача № 3:Решите треугольник (рис.14).
Рисунок 14
Задача № 4:Решите треугольник (рис.15).
Рисунок 15
V.Историческая справка (4-5 мин). Сообщения учеников (3 - 4 мин), которые они готовили самостоятельно с использованием ИКТ к данному уроку.
Примерные содержания сообщений:
1. Первые шаги на пути к таблицам синусов
Тригонометрия берёт своё начало в древней Греции. Для решения прямоугольного треугольника, определения его элементов по трём данным сторонам треугольника вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих различным центральным углам круга постоянного радиуса. Эти таблицы были составлены астрономом-математиком Гиппархом из Никели (2 в. до н.э.).
Знаменитое сочинение – Альмагест астронома Клавдия Птолемея включает в себя звёздный каталог таблиц хорд. Таблица хорд Птолемея составлена в шестидесятеричной системе счисления через полградуса и играла роль таблицы синусов (полухорд). Таблицы синусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и 5 вв. В 15 по теореме косинусов
BD2 = AB2 + AD2 - 2AB ×AD × cos 30°
BD2 = 64 + 48 - 2 ×8 × 4√3 × √3/2
BD2 = 112 - 96; BD2 = 16.
= 90º); ∠ DAC = 90º − 2 = 88º