2) в правильном тетраэдре dabc с ребром a точка о - центр треугольника abc. a) построить вектор dc+1/3(ca+cb) и найдите его длину. b) найдите |do-1/2da|
А) Вектор СА+СВ=СF (диагональ параллелограмма, построенного на векторах СА и СВ). CЕ=(1/2)*СF, так как точка Е - пересечение диагоналей параллелограмма. СО=(2/3)*СЕ - так как точка О - центр правильного треугольника АВС, а СЕ - медиана этого треугольника. Значит СО=(2/3)*(1/2)*СF. Или СО=(1/3)(СА+СВ). Следовательно, вектор DC+(1/3)*(CA+CB)=DO. Вектор DO - это высота тетраэдра. СО=(2/3)*СЕ =√(CВ²-ВЕ²)=√(a²-a²/4)=a√3/3. DO=√(DC²-CO²)=√(a²-a²/3)=a√(2/3) = (a*√6)/3. Это ответ.
б) Вектор DO-(1/2)*DA - это вектор GO, так как для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое). Модуль вектора GO - это его длина. ОG - медиана в прямоугольном треугольнике DOA, проведенная из прямого угла. Следовательно, GO=(1/2)*AD (половина гипотенузы) или GO=a/2. ответ: |DO-(1/2)*DA|=a/2.
CЕ=(1/2)*СF, так как точка Е - пересечение диагоналей параллелограмма.
СО=(2/3)*СЕ - так как точка О - центр правильного треугольника АВС, а
СЕ - медиана этого треугольника.
Значит СО=(2/3)*(1/2)*СF. Или СО=(1/3)(СА+СВ).
Следовательно, вектор DC+(1/3)*(CA+CB)=DO.
Вектор DO - это высота тетраэдра.
СО=(2/3)*СЕ =√(CВ²-ВЕ²)=√(a²-a²/4)=a√3/3.
DO=√(DC²-CO²)=√(a²-a²/3)=a√(2/3) = (a*√6)/3. Это ответ.
б) Вектор DO-(1/2)*DA - это вектор GO, так как для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).
Модуль вектора GO - это его длина. ОG - медиана в прямоугольном треугольнике DOA, проведенная из прямого угла. Следовательно, GO=(1/2)*AD (половина гипотенузы) или GO=a/2.
ответ: |DO-(1/2)*DA|=a/2.