2. Вершины A и B прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины C и D- на окружности другого основания, причем длина отрезка равна длине образующей. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна 10, а угол между прямой BC и плоскостью основания равен 60°. (подробное решение)
1. Нам известно, что вершины A и B прямоугольника ABCD лежат на одной окружности. Понятно, что это окружность основания, на которой лежат A и B. Обозначим эту окружность как O1.
2. Также нам известно, что вершины C и D лежат на другой окружности. Понятно, что это окружность второго основания, на которой лежат C и D. Обозначим эту окружность как O2.
3. Отрезок AB равен образующей цилиндра. По условию дано, что длина этого отрезка равна 10.
4. Угол между прямой BC и плоскостью основания равен 60°. Понятно, что BC - это высота цилиндра, а плоскость основания - это основание цилиндра.
5. Поскольку ABCD - это прямоугольник, то каждый угол на его окружности основания будет прямым углом (90°).
Теперь, начнем решение задачи:
Шаг 1: Нам дано, что отрезок AB равен 10. Обозначим его как AB = 10.
Шаг 2: Поскольку ABCD - прямоугольник, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка AD.
В прямоугольнике ABCD, AB^2 + BC^2 = AD^2.
Подставляем известные значения: 10^2 + BC^2 = AD^2.
Шаг 3: Отрезок BC - это вертикальная высота на плоскости AB, которая составляет с плоскостью основания угол в 60°. Мы можем использовать свойства треугольника, чтобы найти значение отрезка BC.
Из свойств треугольника, BC = AD * sin(угол между BC и плоскостью основания).
Подставляем известные значения: BC = AD * sin(60°).
Шаг 4: Теперь мы можем подставить значение BC, найденное в предыдущем шаге, в уравнение из шага 2 и решить его относительно AD.
10^2 + (AD * sin(60°))^2 = AD^2.
Шаг 5: Выполним вычисления указанного уравнения и найдем значение AD. Выполним алгебраические преобразования и решим уравнение: (AD * sin(60°))^2 = AD^2 - 100.
Раскроем скобки: (AD^2 * sin^2(60°)) = AD^2 - 100.
Поделим на AD^2: sin^2(60°) = 1 - 100/AD^2.
Приведем к общему знаменателю: sin^2(60°) = (AD^2 - 100)/AD^2.
Шаг 6: Выполним вычисления и найдем значение AD.
Распишем sin^2(60°) как (sin(60°))^2 = (1/2)^2 = 1/4.
Также распишем правую часть уравнения: (AD^2 - 100)/AD^2 = 1 - 100/AD^2.
Теперь уравнение примет вид: 1/4 = 1 - 100/AD^2.
Перенесем все в одну дробь и решим уравнение:
100/AD^2 = 3/4.
Перемножим обе стороны уравнения на AD^2:
100 = (3/4) * AD^2.
Выразим AD^2: AD^2 = (4/3) * 100.
AD^2 = (4 * 100) / 3.
AD^2 = 400/3.
AD = sqrt(400/3) = 20 / sqrt(3) ≈ 11.54.
Шаг 7: Поскольку AB = 10 и AD ≈ 11.54, то AD является диаметром окружности O1, на которой лежат вершины A и B. А значит радиус этой окружности O1 равен половине диаметра:
Радиус O1 = (AD / 2) ≈ 11.54 / 2 ≈ 5.77.
Шаг 8: Окружность O2 - это окружность второго основания, на которой лежат вершины C и D. Поскольку ABCD - прямоугольник, то радиус окружности O2 будет таким же, как радиус O1.
Ответ: Радиус цилиндра равен приблизительно 5.77.