20. Решите уравнение х2 + 3x+ 2-х= 2-х+28. 21. Первые 220 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие
124 км – со скоростью 62 км/ч, а последние 340 км – со скоростью 85 км/ч.
Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
-x-1, если х<-2
22. Постройте график функции y= 10,5х+3,5, если -2<x<1, и опреде-
-1,5х+5,5, если х21,
лите, при каких значениях т прямая y=т имеет с графиком ровно две
общие точки.
23. Биссектриса угла С параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в
точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если DE=11, AE =9
24. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку К. Дока-
жите, что сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине пло-
щади параллелограмма.
25. Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки,
соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 2.
Найдите основания трапеции.
Перенесем все слагаемые на левую сторону:
x^2 + 3x + 2 - x + x - 2 - 28 = 0
Упростим выражение:
x^2 + 3x - 28 = 0
Разложим квадратный трехчлен на множители:
(x + 7)(x - 4) = 0
Получили два уравнения:
x + 7 = 0 или x - 4 = 0
Решим каждое уравнение по отдельности:
x + 7 = 0 => x = -7
x - 4 = 0 => x = 4
Ответ: x = -7 или x = 4.
21. Для нахождения средней скорости найдем общее время движения автомобиля на всем пути:
Первые 220 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, значит он двигался 220/110 = 2 часа.
Следующие 124 км – со скоростью 62 км/ч, значит он двигался 124/62 = 2 часа.
Последние 340 км – со скоростью 85 км/ч, значит он двигался 340/85 = 4 часа.
Общее время движения: 2 часа + 2 часа + 4 часа = 8 часов.
Общий путь: 220 км + 124 км + 340 км = 684 км.
Средняя скорость = общий путь / общее время = 684 км / 8 ч = 85.5 км/ч.
22. Для построения графика функции y = 10.5х + 3.5 на интервале -2 < x < 1:
Значение функции при x = 0: y = 3.5.
Значение функции при x = -2: y = 10.5*(-2) + 3.5 = -21 + 3.5 = -17.5.
Значение функции при x = 1: y = 10.5*1 + 3.5 = 10.5 + 3.5 = 14.
Построим график по полученным точкам.
Для графика функции y = -1.5х + 5.5 на интервале х > 1:
Значение функции при x = 1: y = -1.5*1 + 5.5 = 5.5 - 1.5 = 4.
Значение функции при x = 21: y = -1.5*21 + 5.5 = -31.5 + 5.5 = -26.
Построим график, проходящий через две полученные точки.
Точки пересечения этих двух графиков будут решениями уравнения y = т, то есть значениями x, при которых они пересекаются.
23. Построим параллелограмм ABCD со сторонами AB и CD параллельными и равными.
Пусть BC и AD - диагонали параллелограмма. Так как BE - биссектриса угла C,
она делит сторону CD пополам, то есть CE=DЕ=11/2=5.5.
Пусть AB=BC=x, тогда AD=CD=x+5.5.
Так как стороны AB и CD параллельны, то AB||CD и AD||BC, а значит углы между параллельными сторонами равны.
Из треугольника АЕD можно получить уравнение по теореме косинусов:
(x+5.5)^2 = 9^2 - 5.5^2
x^2 + 11x + 5.5x + 30.25 = 81 - 30.25
x^2 + 16.5x + 30.25 = 81 - 30.25
x^2 + 16.5x + 30.25 - 50.75 = 0
x^2 + 16.5x - 20.5 = 0
Решим уравнение квадратного трехчлена:
x = (-16.5±√(16.5^2 - 4*1*(-20.5)))/(2*1) = (-16.5±√(272.25 + 82))/2 = (-16.5±√(354.25))/2 ≈ (-16.5±18.82)/2.
Таким образом, у нас два возможных значения для x.
Периметр параллелограмма равен P=2(AB+BC)=2(x+x+5.5)=2(2x+5.5)=4x+11.
При x ≈ -0.66 периметр будет составлять P ≈ 1.68 + 11 ≈ 12.68.
24. Для доказательства равенства суммы площадей треугольников ВКС и AKD половине площади параллелограмма ABCD проведем:
ВВод: К - произвольная точка внутри параллелограмма ABCD.
Доказательство:
Отрезки BK и KD параллельны стороне AB, а значит, точка ВКС - середина отрезка AK.
Поэтому площадь треугольника ВКС равна половине площади треугольника AKD.
Аналогично, отрезки AK и AD параллельны, а КД = KD, поэтому треугольник ВКД равен треугольнику AKD.
Так как треугольник ВКС равен половине треугольника AKD, а треугольник ВКД равен треугольнику AKD,
значит, сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади параллелограмма ABCD.
25. Пусть AB и CD - основания трапеции.
Значит, угол ABC равен 180° - 23° - 67° = 90°.
Так как LM и KN - отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, то они равны половине суммы оснований.
Значит, LM = (AB+CD)/2 = (AB+x)/2, где x - неизвестное основание трапеции.
Согласно свойству серединных перпендикуляров, отрезки LM и KN перпендикулярны и стоят на одной линии.
Значит, угол NKL равен углу MKN, а сумма этих углов равна 180°.
Так как эти углы равны между собой, то MKN = NKL = 90°.
Тогда треугольники KMN и MLK прямоугольные, и у них одинаковый гипотенуза LK.
Значит, эти треугольники подобны, и их катеты пропорциональны.
Пусть KM = a и LK = b, тогда LN = LM - KN = (AB+x)/2 - 2.
По теореме Пифагора: a^2 + b^2 = KM^2 = (AB-CD)^2.
В треугольнике LNK также можно применить теорему Пифагора:
(LN-2)^2 + b^2 = KN^2 = (AB+CD)^2/4.
Запишем полученные уравнения:
a^2 + b^2 = (AB-CD)^2,
(AB^2 + 2xAB + x^2)/4 + b^2 = (AB^2 + 2xAB + CD^2)/4.
Подставим второе уравнение в первое:
a^2 + b^2 = (AB-CD)^2,
((AB+CD)^2 + 4xAB + 4x^2 - 4*2*(AB+x) + 4)/16 + b^2 = (AB^2 + 2xAB + CD^2)/4,
((AB+CD)^2 + 4xAB + 4x^2 - 8*(AB+x) + 4)/16 + b^2 = (AB^2 + 2xAB + CD^2)/4,
((AB+CD)^2 + 4xAB + 4x^2 - 8*AB - 8*x + 4)/16 + b^2 = (AB^2 + 2xAB + CD^2)/4,
(AB^2 + 2xAB + CD^2)/16 + b^2 = (AB^2 + 2xAB + CD^2)/4,
16*b^2 = 4*(AB^2 + 2xAB + CD^2) - (AB^2 + 2xAB + CD^2),
16*b^2 = 3*(AB^2 + 2xAB + CD^2),
b^2 = 3*(AB^2 + 2xAB + CD^2)/16,
b^2 = 3*(AB + x)^2/16,
b = sqrt(3)*sqrt(AB + x)/4.
Так как буквенная запись равных значений должна быть одинаковой, и b = 2, получаем:
sqrt(3)*sqrt(AB + x)/4 = 2,
sqrt(AB + x) = 8/sqrt(3),
AB + x = (8/sqrt(3))^2,
AB + x = 64/3,
AB + x ≈ 21.3,
Зная, что AB + CD = AB + x ≈ 21.3, можем выразить CD: CD ≈ 21.3 - AB.
Ответ: основание трапеции AB ≈ 10.6 и CD ≈ 10.7.