Сумма углов четырехугольника равна 360°, как и градусная мера окружности.
Разберемся в этой на первый взгляд очень простой задаче.
Четырехугольник делит окружность на 4 дуги.
Сумма их отношений - 18. Каждая часть этого отношения равна 360:18=20°
Градусные меры дуг, на которые разделена окружность, равны: Дуга АВ=1*20=20° ВС=2*20=40° СД=29*8=160° ДА=20*7=140° Но не все так просто, оказывается.
Да, вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что центральный, равен его половине. Разберемся, чему же равны центральные и вписанные углы.
Угол А опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОД , на сумму дуг ВвС и ДсС. Угол А =(40+160): 2=100 ° Угол С опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОД, на сумму дуг АВ и АдД Угол С=(140+20):2=80°. Угол В опирается на ту же дугу, что центральный угол СОА, на сумму дуг СсД и АдД, Угол В =(7*20+8*20):2=150° Угол Д опирается на ту же дугу, что центральный угол СОА, на сумму дуг АВ и ВС Угол Д=(20+2*20)=30° Проверка
100+80+150+30=360°, т.е. именно сумма углов четырехугольника.
1)По свойству касательных, проведённых из одной точки, AB=AC. Значит, ΔBAC - равнобедренный. Опять же, по свойтву касательных проведённых из одной точки,
<BAD = <CAD. Из этого непосредственно вытекает, что AD - биссектриса, проведённая к основанию, а значит и медиана. BD = CD.
2)Рассмотрю ΔBDO, <D = 90°, так как AD ещё и высота по известному факту.
Пусть BD = x, тогда по теореме Пифагора R = √9+x². Осталось только найти x.
3)Рассмотрю ΔOBA, <B = 90°, так как по свойству, радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
BD - высота ΔOBA - по доказанному выше. А высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, как в данном случае ,есть среднее геометрическое между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Значит,
BD = √3*5+1/3 = √16 = 4. BD = x = 4
4)Теперь подставлю в полученную выше формулу, и получу ответ:
Сумма углов четырехугольника равна 360°, как и градусная мера окружности.
Разберемся в этой на первый взгляд очень простой задаче.
Четырехугольник делит окружность на 4 дуги.
Сумма их отношений - 18.
Каждая часть этого отношения равна
360:18=20°
Градусные меры дуг, на которые разделена окружность, равны:
Дуга АВ=1*20=20°
ВС=2*20=40°
СД=29*8=160°
ДА=20*7=140°
Но не все так просто, оказывается.
Да, вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что центральный, равен его половине.
Разберемся, чему же равны центральные и вписанные углы.
Угол А опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОД , на сумму дуг ВвС и ДсС.
Угол А =(40+160): 2=100 °
Угол С опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОД, на сумму дуг АВ и АдД
Угол С=(140+20):2=80°.
Угол В опирается на ту же дугу, что центральный угол СОА, на сумму дуг СсД и АдД,
Угол В =(7*20+8*20):2=150°
Угол Д опирается на ту же дугу, что центральный угол СОА, на сумму дуг АВ и ВС
Угол Д=(20+2*20)=30°
Проверка
100+80+150+30=360°, т.е. именно сумма углов четырехугольника.
1)По свойству касательных, проведённых из одной точки, AB=AC. Значит, ΔBAC - равнобедренный. Опять же, по свойтву касательных проведённых из одной точки,
<BAD = <CAD. Из этого непосредственно вытекает, что AD - биссектриса, проведённая к основанию, а значит и медиана. BD = CD.
2)Рассмотрю ΔBDO, <D = 90°, так как AD ещё и высота по известному факту.
Пусть BD = x, тогда по теореме Пифагора R = √9+x². Осталось только найти x.
3)Рассмотрю ΔOBA, <B = 90°, так как по свойству, радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
BD - высота ΔOBA - по доказанному выше. А высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, как в данном случае ,есть среднее геометрическое между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Значит,
BD = √3*5+1/3 = √16 = 4. BD = x = 4
4)Теперь подставлю в полученную выше формулу, и получу ответ:
BO = √9+x² = √9+16 = √25 = 5
Задача решена )