22.1. В правильной шестиугольной шестиугольной призме ABCDEFA B,C,D,E,F, все ребра равны I (рис. 22.8). Найдите скалярное произведение век- торов: а) AA, и BC: б) AA и DEв) AB и BC: r) AB и CD : 1) AC 1 BC: e) AC I BD : *) AC 1 BE.
Для решения этой задачи нам понадобится знание о скалярном произведении векторов. Скалярное произведение двух векторов AB и CD вычисляется по формуле: AB · CD = |AB| × |CD| × cos(θ), где |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно, а θ - угол между ними.
Давайте рассмотрим каждый пункт задачи по порядку:
а) Найдем вначале вектор AA. Вектор AA - это вектор, который начинается в точке A и оканчивается в этой же точке. Так как начало и конец вектора совпадают, то его длина равна нулю. Значит, его скалярное произведение с любым другим вектором также будет равно нулю. В данном случае, скалярное произведение векторов AA и BC равно 0.
б) Теперь рассмотрим вектор DE. Для того чтобы найти его, обратимся к рисунку. Видим, что вектор DE - это диагональ призмы, которая соединяет точку D с точкой E. Так как призма правильная, то все ее грани равны, а значит, вектор DE равен вектору AB. Теперь вычислим скалярное произведение векторов AA и DE. Как уже указано в пункте а, вектор AA имеет длину ноль. Значит, скалярное произведение векторов AA и DE также будет равно нулю.
в) Вектор AB - это одно из ребер призмы. Из условия задачи известно, что все ребра призмы равны I. Таким образом, вектор AB имеет длину I. Теперь посчитаем скалярное произведение векторов AB и BC. Для этого нам понадобится найти угол между ними. Из рисунка видно, что угол между этими векторами равен 120 градусам (так как призма правильная и у нее три равносторонние грани). Подставим значения в формулу: AB · BC = |AB| × |BC| × cos(θ) = I × I × cos(120°). Косинус 120 градусов равен -1/2 (так как это угол в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов). Тогда получаем AB · BC = I × I × (-1/2) = -I^2/2 = -I^2/2.
г) Рассмотрим векторы AB и CD. Вектор AB, как уже указано выше, имеет длину I. Вектор CD - это диагональ призмы, соединяющая точку C с точкой D. Рассмотрим треугольник BCD. Из рисунка видно, что он является равносторонним, так как различные диагонали призмы равны. Значит, угол между векторами AB и CD равен 60 градусам. Подставим значения в формулу: AB · CD = |AB| × |CD| × cos(θ) = I × I × cos(60°). Косинус 60 градусов равен 1/2 (так как это угол в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов). Тогда получаем AB · CD = I × I × (1/2) = I^2/2.
д) Вектор AC - это диагональ призмы, которая соединяет точки A и C. Вектор BC - одно из ребер призмы. Так как все ребра призмы равны I, то вектор BC также имеет длину I. Теперь найдем угол между векторами AC и BC. Рассмотрим треугольник ABC. Из рисунка видно, что он является равносторонним, так как все его стороны равны I (как и у призмы). Значит, угол между векторами AC и BC равен 60 градусам. Подставим значения в формулу: AC · BC = |AC| × |BC| × cos(θ) = I × I × cos(60°). Косинус 60 градусов равен 1/2 (так как это угол в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов). Тогда получаем AC · BC = I × I × (1/2) = I^2/2.
e) Рассмотрим векторы AC и BD. Вектор AC - это диагональ призмы, которая соединяет точки A и C. Вектор BD - это диагональ призмы, которая соединяет точки B и D. Так как призма правильная и все ее диагонали равны, то вектор AC равен вектору BD. Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и BD. Для этого нам понадобится найти угол между ними. Рассмотрим треугольник ABC. Из рисунка видно, что он является равносторонним, так как все его стороны равны I (как и у призмы). Значит, угол между векторами AC и BD равен 60 градусам. Подставим значения в формулу: AC · BD = |AC| × |BD| × cos(θ) = I × I × cos(60°). Косинус 60 градусов равен 1/2 (так как это угол в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов). Тогда получаем AC · BD = I × I × (1/2) = I^2/2.
В результате получаем следующие ответы:
а) AA · BC = 0
б) AA · DE = 0
в) AB · BC = -I^2/2
г) AB · CD = I^2/2
д) AC · BC = I^2/2
е) AC · BD = I^2/2
Давайте рассмотрим каждый пункт задачи по порядку:
а) Найдем вначале вектор AA. Вектор AA - это вектор, который начинается в точке A и оканчивается в этой же точке. Так как начало и конец вектора совпадают, то его длина равна нулю. Значит, его скалярное произведение с любым другим вектором также будет равно нулю. В данном случае, скалярное произведение векторов AA и BC равно 0.
б) Теперь рассмотрим вектор DE. Для того чтобы найти его, обратимся к рисунку. Видим, что вектор DE - это диагональ призмы, которая соединяет точку D с точкой E. Так как призма правильная, то все ее грани равны, а значит, вектор DE равен вектору AB. Теперь вычислим скалярное произведение векторов AA и DE. Как уже указано в пункте а, вектор AA имеет длину ноль. Значит, скалярное произведение векторов AA и DE также будет равно нулю.
в) Вектор AB - это одно из ребер призмы. Из условия задачи известно, что все ребра призмы равны I. Таким образом, вектор AB имеет длину I. Теперь посчитаем скалярное произведение векторов AB и BC. Для этого нам понадобится найти угол между ними. Из рисунка видно, что угол между этими векторами равен 120 градусам (так как призма правильная и у нее три равносторонние грани). Подставим значения в формулу: AB · BC = |AB| × |BC| × cos(θ) = I × I × cos(120°). Косинус 120 градусов равен -1/2 (так как это угол в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов). Тогда получаем AB · BC = I × I × (-1/2) = -I^2/2 = -I^2/2.
г) Рассмотрим векторы AB и CD. Вектор AB, как уже указано выше, имеет длину I. Вектор CD - это диагональ призмы, соединяющая точку C с точкой D. Рассмотрим треугольник BCD. Из рисунка видно, что он является равносторонним, так как различные диагонали призмы равны. Значит, угол между векторами AB и CD равен 60 градусам. Подставим значения в формулу: AB · CD = |AB| × |CD| × cos(θ) = I × I × cos(60°). Косинус 60 градусов равен 1/2 (так как это угол в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов). Тогда получаем AB · CD = I × I × (1/2) = I^2/2.
д) Вектор AC - это диагональ призмы, которая соединяет точки A и C. Вектор BC - одно из ребер призмы. Так как все ребра призмы равны I, то вектор BC также имеет длину I. Теперь найдем угол между векторами AC и BC. Рассмотрим треугольник ABC. Из рисунка видно, что он является равносторонним, так как все его стороны равны I (как и у призмы). Значит, угол между векторами AC и BC равен 60 градусам. Подставим значения в формулу: AC · BC = |AC| × |BC| × cos(θ) = I × I × cos(60°). Косинус 60 градусов равен 1/2 (так как это угол в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов). Тогда получаем AC · BC = I × I × (1/2) = I^2/2.
e) Рассмотрим векторы AC и BD. Вектор AC - это диагональ призмы, которая соединяет точки A и C. Вектор BD - это диагональ призмы, которая соединяет точки B и D. Так как призма правильная и все ее диагонали равны, то вектор AC равен вектору BD. Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и BD. Для этого нам понадобится найти угол между ними. Рассмотрим треугольник ABC. Из рисунка видно, что он является равносторонним, так как все его стороны равны I (как и у призмы). Значит, угол между векторами AC и BD равен 60 градусам. Подставим значения в формулу: AC · BD = |AC| × |BD| × cos(θ) = I × I × cos(60°). Косинус 60 градусов равен 1/2 (так как это угол в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов). Тогда получаем AC · BD = I × I × (1/2) = I^2/2.
В результате получаем следующие ответы:
а) AA · BC = 0
б) AA · DE = 0
в) AB · BC = -I^2/2
г) AB · CD = I^2/2
д) AC · BC = I^2/2
е) AC · BD = I^2/2