25
точки a1, a2, a3, a4, являются вершинами пирамиды. вычислить ее
объем, площадь грани a1,a2,a3, и высоту пирамиды, опущенную на эту
грань.
а(1; 3; 0), а,(4; -1; 2), a3(3; 0; 1), a4(-4; 3; 5).​

Пусть вершины будут А(1;3;0), B(4; -1;2), C(3;0;1), D(-4;3;5).​

                                    x  y z Квадрат   Длина ребра  

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}  3  -4  2     29            5,385.

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}  2   -3   1     14                    3,742  

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} -5    0   5     50             7,071.

Площадь грани A1,A2,A3 равна половине модуля векторного произведения векторов AB x AC.

Произведение векторов (3  -4  2) x (2   -3   1)    

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

AB x AC = (-4*1 - 2*(-3)); 2*2 - 3*1; 3*(-3) - (-4)*2) = (2; 1; -1).

|AB x AC| = √(4 + 1 + 1) = √6.

S(ABC) = √6/2 ≈ 1,225 кв.ед.

Объём V пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения (AB x AC) * AD.  

AB x AC =  (2; 1; -1),    AD = (-5; 0; 5)

V = (1/6)*|(-10 + 0 - 5)| = 15/6 = (5/2) куб.ед.

Высота Н = 3V/S = (15/2)/(√6/2) = 5√6/2 ≈ 6,124.