3.015. ©В правильном тетраэдре DABC, все рёбра которого равны 6, точка к лежит на ребре BD так, что DK 2; точка
M лежит на ребре ВC так, что ВМ 4; точка Р
середина
ребра AB. а) Докажите, что прямая КМ параллельна плос-
кости ADC. б) Докажите, что прямая РМ не параллельна
плоскости ADC. в) Проведите через точку Р прямую, па-
раллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB в точ-
ке L. Найдите длину отрезка LK.
а) Для доказательства, что прямая KM параллельна плоскости ADC, нам нужно показать, что угол между прямой KM и плоскостью ADC равен 90 градусов.
1. Найдем векторы KM и вектор, лежащий в плоскости ADC.
Вектор KM можно найти как разность координат точек K и M:
KM = MK = (4, 0, 0) - (2, 0, 0) = (2, 0, 0).
2. Теперь найдем вектор, лежащий в плоскости ADC.
Заметим, что точки A, D и C образуют треугольник ADC, и каждая его сторона равна 6. Значит, треугольник ADC равносторонний.
Так как P - середина ребра AB, то вектор AP равен половине вектора AB:
AP = AB/2.
AB = AD + DB.
AD = AC - CD.
AC и CD являются векторами, лежащими в плоскости ADC. Их можно найти как разности координат точек:
AC = (0, 6, 0) - (0, 0, 0) = (0, 6, 0),
CD = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0).
Тогда AD = AC - CD = (0, 6, 0) - (2, 0, 0) = (-2, 6, 0).
DB = DK + KB.
DK равен 2, а KB равен половине ребра BD, то есть равен 6/2 = 3.
Тогда DB = 2 + 3 = 5.
Теперь найдем вектор AB:
AB = AD + DB = (-2, 6, 0) + (5, 0, 0) = (3, 6, 0).
Значит, вектор AP = AB/2 = (3, 6, 0)/2 = (3/2, 6/2, 0) = (3/2, 3, 0).
3. Вычислим скалярное произведение векторов KM и AP.
Для этого умножим соответствующие координаты векторов и сложим результаты:
KM∙AP = (2, 0, 0)∙(3/2, 3, 0) = 2*(3/2) + 0*3 + 0*0 = 3 + 0 + 0 = 3.
4. Проверим, равно ли скалярное произведение 0.
Если скалярное произведение равно 0, то угол между векторами KM и AP равен 90 градусов.
Если скалярное произведение не равно 0, то угол между векторами KM и AP не равен 90 градусов.
В нашем случае, KM∙AP = 3 ≠ 0, поэтому прямая KM не параллельна плоскости ADC.
б) Проведите, пожалуйста, прямую RP параллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB точке L.
5. Заметим, что прямая RC лежит в плоскости ADC, так как и точка Р, и точка C лежат в этой плоскости. Проведем прямую, проходящую через точку Р и параллельную RC.
6. Чтобы найти направляющий вектор прямой RP, возьмем разность координат точек R и P:
RP = PR = (0, 0, 3) - (3/2, 3, 0) = (-3/2, -3, 3).
7. Примем в качестве начальной точки P и построим прямую RP.
в) Теперь найдем длину отрезка LK.
Чтобы найти длину отрезка LK, нам нужно сначала найти точку L, а затем найти расстояние между точками L и K.
8. Чтобы найти точку L, пересекающую ребро DB, проведем прямую, параллельную плоскости ADC и проходящую через точку P.
Эта прямая уже проведена и проходит через точку P.
9. Точка L лежит на прямой PL и ребре DB, поэтому чтобы найти точку L, нам нужно найти их пересечение.
Уравнение прямой PL в параметрической форме:
x = 0 + (-3/2)*t,
y = 0 + (-3)*t,
z = 3 + 3*t,
где t - параметр.
Уравнение ребра DB в параметрической форме:
x = 2 + (5-2)*s = 2 + 3s,
y = 0,
z = 0,
где s - параметр.
10. Подставим значения x, y и z из уравнений прямой PL и ребра DB и приравняем их:
0 + (-3/2)*t = 2 + 3s,
0 + (-3)*t = 0,
3 + 3*t = 0.
Решим эту систему уравнений:
3*t = -3,
t = -1.
Подставим найденное значение параметра t в уравнения прямой PL:
x = -3/2*(-1) = 3/2,
y = -3*(-1) = 3,
z = 3 + 3*(-1) = 0.
Таким образом, точка L имеет координаты (3/2, 3, 0).
11. Найдем длину отрезка LK, зная координаты точек L и K.
Длина отрезка LK равна расстоянию между точками L и K, и может быть найдена с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
LK = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²),
где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек L и K.
Подставим координаты точек L(3/2, 3, 0) и K(2, 0, 0) в формулу расстояния:
LK = √((2 - 3/2)² + (0 - 3)² + (0 - 0)²) = √((4/4 - 3/4 + 9)² + (0 - 3)² + 0²) = √((1/4 + 9)² + 9² + 0²) = √((41/4)² + 81) = √((1681/16) + 81) = √(1681/16 + 1296/16) = √(2977/16) ≈ 8.17.
Таким образом, длина отрезка LK составляет примерно 8.17 единиц длины.