Сечение полушара плоскостью "другого" основания - это (само собой) окружность, причем это окружность, описанная вокруг правильного треугольника, который является этим основанием. Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть r^2 = R^2 - h^2; Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением r^2 = a^2/3; а площадь S основания призмы равна S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2); Объем, само собой, равен V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h; В точке экстремума V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3; Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно V = R^3/2;
раза я почти дописывал (было написано примерно 90 % решения), и два раза мой комп "глючил", и написанное мною безвозвратно терялось. Попробую написать в Word, время от времени сохраняя написанное. Итак, возьми листочек бумаги, и нарисуй домик, какие рисуют дети, т.е. квадрат ABKL и присоединенный к нему равнобедренный треугольник АВС с прямым углом С. Сторону АВ (общую для квадрата и треугольника) подели пополам, и поставь точку D. Проведи отрезки CD, DK и DL. DK= DL. Пусть стороны квадрата равны "х". Тогда AD=DB= CD =x/2. По теореме Пифагора DK=DL=√(x^2+(x/2)^2)=(х/2)*√(5) . Согни лист по линии АВ и положи на стол так, чтобы часть листочка ч квадратом лежала на столе, а часть листочка с треугольником была перпендикулярна поверхности стола. Возьми две вязальные спицы (иголки, гвозди, стержни от авторучки, спички и т.п.). Проткни отверстие в точке D и продень в него спицы. Конец одной помести в точку K, другой – в точку L. Получится искомый треугольник CKL, СK=CL. В нем KL=х, а СK=CL=√(((х/2)*√(5))^2+(x/2)^2=(x/2)*√(6). Теперь к нему применяем теорему косинусов: KL^2=CK^2+CL^2-2*CK*CL*cos(KCL). Отсюда cos(KCL)=1-KL^2/(2*CK^2)=1-x^2/(2*(x/2)^2*6)=2/3. Наконец-то сумел дописать.
Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть
r^2 = R^2 - h^2;
Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением
r^2 = a^2/3;
а площадь S основания призмы равна
S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2);
Объем, само собой, равен
V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h;
В точке экстремума
V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3;
Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно
V = R^3/2;