3.35. Даны две прямые a и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны.​

ВD - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит и биссектриса.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

В треугольнике АВМ ВО - биссектриса, значит

АО : ОМ = ВА : ВМ

ВА = АО · ВМ / ОМ = 18 · 16 / 12 = 24 см

Доказательство свойства биссектрисы (на всякий случай)

Проведем прямую АК║BD, К - точка пересечения этой прямой с прямой ВС.

∠DBA = ∠KAB как накрест лежащие (AK ║ BD, AB секущая),

∠CBD = ∠СКА как соответственные (АК ║ BD, СК секущая),

так как ∠DBA = ∠CBD, то и ∠КАВ = ∠СКА, тогда

ΔАВК равнобедренный, АВ = ВК.

По обобщенной теореме Фалеса:

АО : ОМ = КВ : ВМ или

АО : ОМ = АВ : ВМ.

Построение:

1) Соединим точки КМ;

2) Грани KLMN и K₁L₁M₁N₁ — параллельны, поэтому построим прямую в плоскости K₁L₁M₁N₁ параллельную прямой КМ через точку М₁;

3) В точке пересечения этой прямой и ребра отметим точку, данная точка уже есть — это точка К₁

Доказательство:

1) Противоположные стороны построенного сечения являются противоположными ребрами параллелепипеда, значит они равны и параллельны;

2) Вторая пара сторон является диагоналями противоположных (граней параллелепипеда, значит они также равны и параллельны;

3) Следовательно построенные сечения являются параллелограммами, что и требовалось доказать.