Эта задача на много проще, чем кажется. Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a, то стороны исходного треугольника будут такие (a + r, b + r, 35) стороны меньшего треугольника (a, r, 15) стороны большего (r, b, 20) и все эти три треугольника подобны между собой. отсюда a/r = 15/20 = 3/4; то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5) То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4. То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20) Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294; длина полуокружности πr = 12π;
Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.
Даны координаты точек A(1;4), B(1;1) , C(4;7).
Уравнение прямой, включающей сторону ВС:
Вектор BC : (4-1=3; 7-1=6) = (3; 6).
(x - 1)/3 = (у - 1)/6, после сокращения знаменателей на 2, получаем:
(x - 1)/1 = (у - 1)/2 это каноническое уравнение стороны ВС.
Или 2х - 2 = у - 1 или 2х - у - 1 = 0 общее уравнение.
у = 2х - 1 с угловым коэффициентом. к(ВС) = 2.
Угловой коэффициент перпендикуляра АН к стороне ВС равен:
к(АН) = -1/к(ВС) = -1/2.
Уравнение АН: у = (-1/2)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки А: 4 = (-1/2)*1 + в, отсюда в = 4 + (1/2) = 9/2.
Уравнение АН: у = (-1/2)х + (9/2).
Координаты точки Н находим как точки пересечения прямых АН и ВС.
(-1/2)х + (9/2) = 2х - 1,
(5/2)х = (11/2), отсюда находим х(Н) = 11/5 = 2,2.
у(Н) = 2*(11/5)-1 = 17/5 = 3,4.
ответ: Н(2,2; 3,4).
Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a,
то стороны исходного треугольника будут такие
(a + r, b + r, 35)
стороны меньшего треугольника
(a, r, 15)
стороны большего
(r, b, 20)
и все эти три треугольника подобны между собой.
отсюда a/r = 15/20 = 3/4;
то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5)
То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4.
То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20)
Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294;
длина полуокружности πr = 12π;
Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.