3. центрі о нүктесі, радиусы 8 см болатын шеңберде ab диаметріне перпендикуляр сd хордасы жүргізілген. егер 0 coa =∠ 30 екені белгілі болса, cd хордасының ұзындығын табыңыз

ответ:

1. р = 18см.

2 ас = 30/(√3+1) м.

объяснение:

площадь треугольника равна (1/2)·a·b·sinα, где a и b - стороны треугольника, а α - угол между этими сторонами. в нашем случае

а = 3х, b = 8x, sinα = √3/2.   тогда

(1/2)·24х²·(√3/2) = 6√3   =>   x = 1 см.  

имеем две стороны треугольника: 3см и 8см.

по теореме косинусов находим третью сторону:

х = √(3²+8²- 2·3·8·cos60) = √49 = 7см.

периметр треугольника равен 3+8+7 = 18см.

2. по теореме синусов в треугольнике авс:

ас/sinβ = ab/sinc.

∠c = 180 - 60 - 45 = 75°.   sin75° = sin(45+30). по формуле

sin(45+30) = sin45·cos30 + cos45·sin30 = (√6+√2)/4.

тогда ас = ав·sinβ/sinc = (30·√3/2)/((√6+√2)/4). или

ас = 60/((√6+√2) = 60/(√2(√3+1)) = 30/(√3+1) м.

Обозначим О - центр окружности;
АВ - касательная;
АС -секущая;
СD - внутренний отрезок секущей (рисунок в приложении).
По условиям задачи:
АВ+АС=30 см
AB-CD=2
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть:
АВ²=АС*DA
Выразим:
AC=30-AB
CD=AB-2
Пусть АВ=х см, тогда
АС=30-х
СD=x-2
АС=DA-DC=30-x-x+2=32-2x
АВ²=АС*DA=(30-x)*(32-2x)
x²=(30-x)*(32-2x)
x²=960-32х-60х+2х²
2х²-х²-92х+960=0
х²-92х+960=0
D=b²-4ac=(-92)²-4*1*960=8464-3840=4624 (√4624=68)
x₁=(-b+√D)/2a=(-(-92)+68)/2*1=160/2=80 - не соответствует условиям задачи
x₂=(-b-√D)/2a=(-(-92)-68)/2*1=24/2=12
АВ=12 см
АС=30-АВ=30-12=18 см
ответ: касательная равна 12 см, секущая - 18 см.