3. Дан равнобедренный треугольник ABCс основанием AC, у которого AB+Bc=20см, < A = 60 Найдите площадь
треугольника ABC.

Рассмотрим прямоугольный ΔBCD

CD = 5√3 известный катет

BD - катет против угла в 30 градусов, его длина x

ВС - гипотенуза, её длина 2х

запишем теорему Пифагора для ΔBCD

(5√3)² + x² = (2x)²

25*3 + x² = 4x²

25*3 = 3x²

25 = x²

x = 5

BD = 5

BC = 2x = 10

---

Рассмотрим прямоугольный ΔABD

AD = 12 по условию, катет

BD = 5 из пункта, катет

AB - гипотенуза

по т. Пифагора

AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

AB = √169 = 13

---

Периметр ΔABC

P(ΔABC) = AB + BC + CD + AD = 13 + 10 + 5√3 + 12 = 35 + 5√3

---

теорема синусов для ∠A

sin(∠A)/BC = sin(∠C)/AB

sin(∠A)/10 = sin(30°)/13

sin(∠A) = 1/2 /13 * 10 = 5/13

∠A = arcsin(5/13) ≈ 22.6°

---

∠B найдём из того условия, что сумма всех углов треугольника равна 180°

∠B + ∠A + ∠C = 180°

∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - 22.6 - 30 = 127.4°

Объяснение:

По условию при х=3 у=0 (пересечение с осью Ох), а при у=10 х=0 (пересечение с осью Оу). В общем виде формула окружности следующая: (х - х0)^2 + (у - у0)^2 = R^2 (получена из длины отрезка т.е. радиуса), где х0 и у0 – координаты центра окружности. Мы сможем приравнять уравнения окружности, которые составим по условию, так как они оба будут равны R^2. Итак: 1) (3 - х0)^2 + (0 - у0)^2 = R^2 и 2) (0 - х0)^2 + (10 - у0)^2 = R^2. 1) = 2) <=> 9 + х0^2 - 6х0 + у0^2 = х0^2 + 100 + у0^2 - 20у0 <=> 20у0 - 6х0 = 91 <=> 6х0 + 91 = 20у0. Если центр окружности находится на оси Ох, то у0 = 0 => 6х0 + 91 = 0 <=> х0 = –91/6 = –15 1/6.

Теперь посчитаем радиус в квадрате для полной формулы, подставим например х=3, у=0:

(3 - -15 1/6)^2 + (0-0)^2 = (18 1/6)^2 = 109^2.

Т.о. (х + 91/6)^2 + (у - 0)^2 = 109^2