Порой нужно доказать и очевидное. Обозначим центры окружностей К и М, а точку пересечения АВ и прямой КМ - Н. Боковые стороны ∆ АКВ - радиусы, ⇒ ∆ АКВ - равнобедренный.⇒ ∠КАВ=∠ КВА Боковые стороны ∆ АМВ радиусы, ⇒ ∆ АМВ равнобедренный. ⇒ ∠МАВ=∠МВА В треугольниках КАМ и КВМ углы при А и В - сумма равных углов. ⇒ ∠КАМ=∠КВМ стороны КА=КВ, АМ=ВМ⇒ ∆ КАМ=∆КВМ по двум сторонам и углу между ними. ⇒ ∠АКН=∠ВКН, и ∆ АКН=∆ ВКН. ⇒ АН=ВН, и тогда КН - медиана равнобедренного ∆ АКВ, и его биссектриса и высота. ⇒ КН⊥АВ, что и требовалось доказать.
Обозначим центры окружностей К и М, а точку пересечения АВ и прямой КМ - Н.
Боковые стороны ∆ АКВ - радиусы, ⇒ ∆ АКВ - равнобедренный.⇒
∠КАВ=∠ КВА
Боковые стороны ∆ АМВ радиусы, ⇒ ∆ АМВ равнобедренный. ⇒
∠МАВ=∠МВА
В треугольниках КАМ и КВМ углы при А и В - сумма равных углов. ⇒
∠КАМ=∠КВМ
стороны КА=КВ, АМ=ВМ⇒
∆ КАМ=∆КВМ по двум сторонам и углу между ними. ⇒
∠АКН=∠ВКН, и ∆ АКН=∆ ВКН. ⇒
АН=ВН, и тогда КН - медиана равнобедренного ∆ АКВ, и его биссектриса и высота. ⇒
КН⊥АВ, что и требовалось доказать.
Трапеция - четырехугольник. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Сумма длин боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна ее полупериметру.
ВС+АД=АВ+СД=120:2=60
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований ( среднюю линию)
Средняя линия равна (АД+ВС):2=30
ВН и СК - высоты трапеции.
Высоту ВН трапеции найдем, разделив площадь на полусумму оснований
ВН= 540*30=18
Трапеция равнобедренная ⇒ АН=КД
Из прямоугольного треугольника АВН найдем АН:
АН=√(30²-18²)=24
ВС+НК+АН+КД=60
ВС=НК; АН=ДК
2 ВС+2*24=60
2 ВС=12
ВС=6
Треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны.
Сумма их высот равна высоте трапеции =18
Пусть высота меньшего х, высота большего - 18-х
Тогда ВС:АД=х:(18-х)
6:(6+48)=х:(18-х)
Решив пропорцию, получим высоту меньшего треугольника 1,8.
Это и есть искомое расстояние.