3. Даны три единичных вектора ОА, ОВ, ОС, угол между любыми двумя из которых равен 60°. Разло-
жите в данном базисе единичный вектор OD, образующий с этими векторами равные углы. (Рассмотри-
те все возможные случаи.)

∠ ВАD = ∠ ВСD = 36°.

∠ АВС = ∠ АDС = 144°.

Пошаговое объяснение:

1. По условию ABCD - параллелограмм. Так как AB = BC, то параллелограмм является ромбом по определению.

2. По свойствам ромба его диагонали взаимно перпендикулярны, тогда ∆ АОD прямоугольный, сумма его острых углов 1 и 2 равна 90°.

3. Пусть ∠ 1 = х°, тогда ∠ 2 = 4х°, получили, что

х + 4х = 90

5х = 90

х = 90 : 5

х = 18

∠ 1 = 18°, ∠ 2 = 18° • 4 = 72°.

4. По свойствам ромба диагонали являются биссектрисами его углов, тогда

∠ ВАD = 2•∠ 1 = 2•18° = 36°.

∠ ВАD = ∠ ВСD = 36°.

5. ∠ АВС = ∠ АDC = 2•72° = 144°.

Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами которого являются центры граней октаэдра.

Объяснение:

1) Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых - правильный треугольник.  Пусть ребро октаэдра а.

V( октаэдра)=1/3*√2*а³ , ABCD-квадрат .

2) Пусть Р-центр правильного ΔАВМ .Тогда М-точка пересечения медиан .Тогда по т. о точке пересечения медиан   ⇒ .

3) Аналогично для правильного ΔDCМ ⇒    .

4) ΔМРК подобен ΔМXY по 2-м пропорциональным сторонам ( см п. 2,3) и равному углу между этими сторонами (∠РМК-общий).

Тогда  ,  ,РК= *а  .

5) V( куба)=( *а)³ = *а³ .  Тогда отношение объёмов будет равно :

= .