Для любого Рисуем произвольный треугольник со вписанной в него окружностью Разбиваем его линиями из центра вписанной окружности к вершинам на три дочерних треугольника. Площадь большого при этом будет равна сумме площадей трёх маленьких S = 1/2*a*h₁ + 1/2*b*h₂ + 1/2*c*h₃ Высоты всех трёх маленьких треугольников равны радиусу вписанной окружности h₁ = h₂ = h₃ = r S = 1/2*a*r + 1/2*b*r + 1/2*c*r S = 1/2(a + b + c)*r Сумма трёх сторон - периметр, делённая пополам - полупериметр p p = 1/2(a + b + c) Итого S = rp
А - катет основания, противолежащий с β b - катет основания, прилежащий к β с - гипотенуза a = c*sin(β) b = c*cos(β) Площадь основания через катеты S = 1/2*a*b = 1/2*c*sin(β)*c*cos(β) = c²/4*sin(2β) Площадь основания через полупериметр и радиус вписанной окружности S = 1/2*(a+b+c)*r = 1/2(c*sin(β) + c*cos(β) + c)*r = c/2(sin(β) + cos(β) + 1)*r c²/4*sin(2β) = c/2(sin(β) + cos(β) + 1)*r c*sin(2β) = 2(sin(β) + cos(β) + 1)*r c = 2(sin(β) + cos(β) + 1)*r/sin(2β) S = c²/4*sin(2β) = (sin(β) + cos(β) + 1)²*r²/sin(2β) Высота пирамиды h/r = tg(α) h = r*tg(α) Объём пирамиды V = 1/3*S*h = 1/3*(sin(β) + cos(β) + 1)²*r³*tg(α)/sin(2β)
Рисуем произвольный треугольник со вписанной в него окружностью
Разбиваем его линиями из центра вписанной окружности к вершинам на три дочерних треугольника.
Площадь большого при этом будет равна сумме площадей трёх маленьких
S = 1/2*a*h₁ + 1/2*b*h₂ + 1/2*c*h₃
Высоты всех трёх маленьких треугольников равны радиусу вписанной окружности
h₁ = h₂ = h₃ = r
S = 1/2*a*r + 1/2*b*r + 1/2*c*r
S = 1/2(a + b + c)*r
Сумма трёх сторон - периметр, делённая пополам - полупериметр p
p = 1/2(a + b + c)
Итого
S = rp
b - катет основания, прилежащий к β
с - гипотенуза
a = c*sin(β)
b = c*cos(β)
Площадь основания через катеты
S = 1/2*a*b = 1/2*c*sin(β)*c*cos(β) = c²/4*sin(2β)
Площадь основания через полупериметр и радиус вписанной окружности
S = 1/2*(a+b+c)*r = 1/2(c*sin(β) + c*cos(β) + c)*r = c/2(sin(β) + cos(β) + 1)*r
c²/4*sin(2β) = c/2(sin(β) + cos(β) + 1)*r
c*sin(2β) = 2(sin(β) + cos(β) + 1)*r
c = 2(sin(β) + cos(β) + 1)*r/sin(2β)
S = c²/4*sin(2β) = (sin(β) + cos(β) + 1)²*r²/sin(2β)
Высота пирамиды
h/r = tg(α)
h = r*tg(α)
Объём пирамиды
V = 1/3*S*h = 1/3*(sin(β) + cos(β) + 1)²*r³*tg(α)/sin(2β)