3. Параллельные плоскости аи В пересекают стороны угла РМК в точках А, В, Е и С, как показано на
рисунке 2. Известно, что MC=3,5МЕ, ВС=21 см. Найти AE.
А) 9 см; В) 6 см; С) 7 см; D) 12 см.
4. На рисунке 3 точки А, В и С лежат в плоскости а, точки M, РиК в плоскости В. Отрезки АК=CM и BP
имеют общую середину О. Величина угла мок составляет 60°, MC=24 см. Найти AC.
А) 20 см; В) 18 см; с) 16 см; D) 12 см.​

Один из углов равнобедренного треугольника равен 108 градусов. Найти соотношение длин двух биссектрис неравных углов.

Сделаем рисунок. 

Пусть данный треугольник АВС, АВ=ВС

Углы при основании АС равны (180º -108º):2=36º, значит, нужно найти соотношение длин биссектрис  ∠В и∠С, т.к. они не равны. 

Биссектрисы  ВН и СК делят углы пополам. 

∠ КВО=108º:2=54º

∠ ВСК=36:2=18º

В ∆ ВКС ∠ ВКС=180º-108º-18º=54º

 ∠ КВО=108º:2=54º

∠ ВКС=∠ КВО ⇒

∆  КОВ - равнобедренный. 

Проведем НМ параллельно АВ. 

∠ ВНТ=∠КВН=54º как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей 

углы КТН = ВКТ=54º  на том же основании ⇒

∆ НОТ - равнобедренный. 

ВН=ВО+ОН, КТ=КО+ОТ и оба состоят из суммы равных отрезков. ⇒

ВН=КТ. 

НМ || АВ по построению,  а АН=НС по условию.⇒

НМ - средняя линия и делит СК пополам. 

ТС=ТК=ВН

СК= 2 ВН

СК:ВН=2:1. 

Центр описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника, следовательно, на высоте равнобедренного ∆ АВС или на ее продолжении.  

ответ зависит от величины угла АВС. Если он тупой, центр О описанной окружности вне треугольника, если острый - внутри него. 

Существует формула для радиуса описанной вокруг равнобедренного треугольника окружности.  В данном ниже решении она не применялась. 

а) ∆ АВС тупоугольный, центр О - вне треугольника. 

Соединим О с вершинами А и С.  Высота ВН еще и медиана и биссектриса  ∆ АВС и принадлежит радиусу ВО ( срединному перпендикуляру). 

Тогда АН=СН-4

∆ ОНС - «египетский», ⇒ ОН=3 см, ⇒ ВН, высота ∆ АВС, равна 2 см. 

S ∆ АВС=ВН•AC:2=8 см²

б) ∆ АВС - остроугольный. Центр О - в плоскости треугольника. 

Проведем диаметр СК и соединим К и В. 

∆ СВК - прямоугольный ( угол В опирается на диаметр). 

ВН в нём - высота, СК - гипотенуза, СН - проекция катета СВ на гипотенузу. 

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;

СН²=ВН•KH⇒

ВH=СН²:HK

НК=10-ВН

16=BH•(10-ВН)

BH²-10 BH+16=0 ⇒

BН₁=8 см; ВН₂=2 см ( это значение мы использовали для тупоугольного треугольника) 

 S ∆ АВС =8•8:2=32 cм²