3. Радиусы 10см болатын шеңберге іштей ABC теңқабырғалы үшбұрышы
сызылған. ВД-ның ұзындығын табыңдар. Өте қатты керек көмектесіндерш

Сначала доказываем подобие треугольников ВСН и АСН (по двум углам). Это очевидно, поскольку угол АНС и угол ВНС будут прямыми, а угол АСН = углу НВС (из треугольника АВС угол НВС = 90 - угол САВ, из треугольника АСН следует, что угол АСН = 90 - угол САВ (он же угол САН)).
Так как эти треугольники подобны, то подобны и их соответственные элементы (в нашем случае биссектрисы). Поэтому коэффициент подобия треугольников АСН и ВСН равен 1/3.
Из подобия следует соотношение сторон этих треугольников: АН/СН = СН/ВН = АС/ВС = 1/3
Нас интересует последнее соотношение, дающее нам катеты исходного прямоугольного треугольника АВС.
Пусть АС = х, то ВС = 3х, и по т. Пифагора имеем:
х² + 9х² = (2√5)²
10х² = 20
х = √2
АС = √2, ВС = 3√2
Площадь треугольника АВС равна половине произведения катетов:
1/2×√2×3√2 = 3
ответ: 3

1) Дано: АВ=ВС

BD - биссектриса

DC = 35

BC = 80

Найти: AD

Рассмотрим △АВD и △ВDC:

АВ=ВС

BD - биссектриса => ∠ABD =∠DBC

BD - общая

△АВD = △ВDC по 1 признаку => AD=DC=35

ответ: 1

2) Дано:

∠BAD = 37°

∠BCD = 52°

BD - медиана

BD=DE

Найти: ∠DCE

Рассмотрим △EDC и △ABD:

BD=DE

AD=DC

∠ADB = ∠EDC, т.к. они вертикальные

△EDC = △ABD по 1 признаку => ∠DCE = ∠DAB = 37°

ответ: 2

3) Найти: ∠NML и ∠LNM

Т.к. △KLM - равнобедренный, то ∠LKM = ∠LMK = 50°

Т.к. △KLM - равнобедренный, то LM - медиана и высота => ∠LNM = 90°

ответ: 4

4)Найти: ∠BDA

Рассмотрим △BDA и △CAD:

AB = CD

BD = AC

AD - общая

△BDA и △CAD по 3 признаку => ∠BDA = ∠CAD = 35°

ответ: ∠BDA = 35°

5)Найти: ∠АВС

Т.к. ВD - биссектриса, то ∠DBC = ∠ABD = 34 => ∠АВС = ∠DBC + ∠ABD = 34 + 34 = 68

6)Рассмотрим △ABC и △ADC:

AB = CD по условию

∠BAC = ∠DCA по условию

АС - общая

△ABC =△ADC по 1 призаку => ∠АВC = ∠ADC = 76°

7)1;3;4;5