3. В паралелограмме ABCD биссектриса АК делит сторону ВС на отрезки BK = 3см и кс = 5см.
Найпипе: а) периметр параллелограмма:
б) динну средней линии
трапети AKCD.

а)

проекция Точки A на плоскость (A1B1C1)=A1, проекция точки D=D1, значит проекция отрезка AD=A1D1.

Отрезок A1D1║B1C1 из свойств правильного шестиугольника, и A1D1║AD так как плоскость (ABC)║(A1B1C1) значит AD║B1C1 Ч.Т.Д.

б)

Рассмотрим треугольник A1B1C1, опустим высоту A1H на основание B1C1, AH Также будет ⊥B1C1 по теореме о трех перпендикулярах, значит AH искомое расстояние.

AA1 будет ⊥A1H так-как он ⊥ плоскости (A1B1C1).

найдем A1H методом площадей в треугольнике A1B1C1.

$$\begin{lgathered}S=\frac{1}{2} A_1B_1*B_1C_1*sin(120)=\frac{1}{2} B_1C_1*A_1H\\a^2*sin(120)=a*A_1H\\A_1H=a*sin(180-60)=a*sin(60)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{lgathered}$$

A1H также можно было найти рассмотрев треугольник A1BH, сказав что A1H=A1B1*sin(60)

теперь по теореме пифагора найдем AH:

$$AH=\sqrt{A_1H^2+AA_1^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$$

ответ: $$AH=\frac{a\sqrt{7}}{4}$$

Дано:

параллелограмм ABCD

угол BAE = 60°

AE = ED

P(ABCD) = 48

Найти: BD

P = 2(a + b) = 2AD + 2AB = 48

AD + AB = 24

треугольник ABE — прямоугольный, а значит сумма углов равна 180°.

угол BAE = 60° по заданию,

угол AEB = 90°, так как BE — высота и перпендикулярна AD,

угол ABE = 180° – 60° – 90° = 30°

По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузе:

AE = AB / 2

AE = ED = AD / 2 по заданию

AD / 2 = AB / 2 =>

AD = AB =>

параллелограмм ABCD — равносторонний =>

AD + AB = 24

2*AD = 24

AD = 12

Треугольник ABD — равнобедренный, значит

AB = BD = 12

ответ: 12