3.в правильной треугольной призме abca, b,c, ребра основания равны 2, а боковые ребра
равны 4. точка k - центр нижнего основания abc, а точка l центр боковой грани
вb,c,c. найти скалярное произведение векторов см и аn.
4. в правильной четырехугольной пирамиде sabcd все ребра равны 8. точка f делит высоту
пирамиды в отношении 1: 3, считая от вершины s; точка g делит ребро bs в отношении
3: 5; точка делит ребро вс в отношении 7: 1. найти периметр треугольника fgh.
5. в прямоугольном параллелепипеде авсda, в,g d, ab = 6, ad 3 4, aa, - 3. плоскость
в проходит через вершину в перпендикулярно диагонали acи пересекает прямую dd, в
точке к. : а) составить уравнение плоскости в; 6) найти угол между прямой ak и
плоскостью в; в) найти расстояние от вершины а, до плоскости в.
по теореме косинусов можно сразу найти косинус угла СВD в треугольнике CBD:
Cos(CBD)=(BC²+BD²-CD²)/(2*BC*BD) или в нашем случае:
Cos(CBD)=(25+36-16)/60=3/4.
ответ: <CBD=arccos(3/4) или ≈41,4°.
Синус угла CBD равен sin(CBD)=√(1-9/16)=√7/4.
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому площадь параллелограмма равна Sabcd=2*Sbcd.
Scbd=(1/2)BC*BD*Sin(CBD) или Scbd=15√7/4.
Sabcd=2*15√7/4=15√7/2=7,5√7.
ответ: Sabcd=7,5√7.
Для проверки найдем по теореме косинусов в треугольнике АВD косинус угла А:
CosA=(16+25-36)/40=1/8.
SinA=√(1-1/64)=(√63)/8=(3√7)/8.
Тогда площадь параллелограмма равна
Sabcd=AB*AD*SinA или Sabcd=(20*3√7)/8=15√7/2=7,5√7.
ответ совпал с полученным ранее значением.
2) не может. Существует теорема "Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон." Следовательно , такая
прямая может пересекать только 2 стороны треугольника.