3) В прямоугольных треугольниках АВС и КРН <A=<K=20°. Найдите гипотенузу KH, если катеты BC=5 см, AB=16, КР=8см. [3]​

Пусть С - начало координат

Ось X - CB

Ось  Y - Перпендикулярно X в сторону A

Ось Z - СС1

1)

Координаты точек

D (√13;0;√13/2)

N(3√13/4;√39/4;√13)

Вектора

СD ( √13;0;√13/2)

DN( -√13/4;√39/4;√13/2)

CD*DN = -13/4 + 13/4 =0 - перпендикулярны.

2)

Уравнение плоскости

BCC1

y=0

Уравнение плоскости

CDN

ax+by+cz=0

подставляем координаты точек D и N

√13a + √13c/2 =0

3√13a/4 + √39b/4 + √13c =0

Пусть a=1 тогда с = -2 b= 5√3/3

Уравнение

x +5√3y/3 - 2z =0

Косинус искомого угла

5√3/3 / √(1+25/3+4) = √(5/8)

Синус √(3/8)

Тангенс √(3/5)= √15/5

Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".

Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.

По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.

Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.

Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:

С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.

Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.

α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.