3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. Найдите градусные меры углов BDC и BCA, если
и1 1100
A
D
с

Обозначим точки пересечения прямой, параллельной АВ, 

с АС - К, с ВС -М. 

Примем площадь ∆ АВС=S , площадь ∆ СКМ=S₁, площадь четырёухугольника АКМВ=S₂

Тогда  S=S₁+S₂

По условию S₁=2 S₂, след. S₂=0,5S₁

Выразим площадь ∆ АВС через S₁

S=S₁+0,5S₁=1,5S₁

 КМ║АВ,⇒ треугольники АВС и КМС подобны ( соответственные углы при КМ и АВ равны, угол С - общий). 

Отношение их площадей 1,5S₁:S₁=1,5 или 3/2

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров. 

k²=3/2

k=√(3/2)

CM:BM=√3:√2 – это ответ. 

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Следовательно, четырехугольник KLMN - параллелограмм (на всякий случай).
а) NL - медиана треугольника ВNC. Следовательно,
Sbnl=Scnl (свойство медианы).
Но Sabln=Sdcln - дано.
Значит и Sabn=Sdcn.
Треугольники АВN и DCN имеют одинаковые основания, (точка N - середина отрезка AD. Значит и высоты ВР и CQ, проведенные к этим основаниям, равны.
Перпендикуляры ВP=CQ, значит точки В и С прямой ВС находится на одинаковом расстоянии от прямой АD, то есть ВС параллельна AD,
что и требовалось доказать.
б) АВСD - трапеция (доказано выше).
КМ - ее средняя линия.
Skbcn=(1/2)(BC+KM)*h1 (площадь трапеции).
Sakmd=(1/2)(AD+KM)*h2.
Но h1=h2, так как КМ - средняя линия трапеции.
Тогда Skbcn/Sakmd=(BC+KM)/(AD+KM).
КМ=(ВС+АD)/2.
Skbcn/Sakmd=(3ВС+AD)/BC+3AD=11/17 (дано)
51ВС+17AD=11BC+33AD.
40BC=16AD.
ВC/AD=2/5.