Считается, что чем больше различных решений существует у задачи, тем она интереснее с математический точки зрения. В этом отношении, задача, которую мы рассмотрим сегодня, является одной из наиболее интересных в школьном курсе геометрии. Она же, кстати, была предложена для решения в задании 24 модуля «Геометрия» демонстрационного варианта ОГЭ по математике в 2015 году. Так что попробуем решить её максимально возможным количеством не выходящих за рамки школьного курса. Присылайте свои варианты решения в комментариях или на почту репетитора по математике и физике. С удовольствием опубликую их и поставлю ссылку на вашу анкету или сайт, если это необходимо.
Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
1. Проведем прямую через точку , параллельную прямой . Точку пересечения этой прямой с прямой обозначим буквой .
2. Тогда , так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых , и секущей . Также , так как они вертикальные. Кроме того, по условию. Следовательно, по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. Следовательно, . То есть в четырехугольнике две стороны равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, все углы этого параллелограмма прямые. Следовательно, — прямоугольник.
4. То есть , так как это диагонали данного прямоугольника. Кроме того, эти диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, .
Напротив большего угла лежит наибольшая сторона, поэтому наибольшей стороной является АВ, так как она лежит напротив ∠С=80°, а меньшей стороной является ВС, так она лежит напротив меньшего ∠А=40°
№19
ДАНО:
∆АВС, АВ=4,1м; ВС=6,2м; АС=7,3см
НАЙТИ: наибольший и наименьший углы.
Больший угол лежит напротив большей стороны и меньший угол лежит напротив меньшей стороны, поэтому большим углом является ∠В, так как он лежит напротив большей стороны АС=7,3м, а меньшим углом является ∠С, так как лежит напротив меньшей стороны АВ=5,1м
Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
1. Проведем прямую через точку , параллельную прямой . Точку пересечения этой прямой с прямой обозначим буквой .
2. Тогда , так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых , и секущей . Также , так как они вертикальные. Кроме того, по условию. Следовательно, по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. Следовательно, . То есть в четырехугольнике две стороны равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, все углы этого параллелограмма прямые. Следовательно, — прямоугольник.
4. То есть , так как это диагонали данного прямоугольника. Кроме того, эти диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, .
Объяснение:
№18
ДАНО: ∆АВС, ∠А=40°, ∠В=60°, ∠С=80°.
НАЙТИ: наибольшую сторону.
Напротив большего угла лежит наибольшая сторона, поэтому наибольшей стороной является АВ, так как она лежит напротив ∠С=80°, а меньшей стороной является ВС, так она лежит напротив меньшего ∠А=40°
№19
ДАНО:
∆АВС, АВ=4,1м; ВС=6,2м; АС=7,3см
НАЙТИ: наибольший и наименьший углы.
Больший угол лежит напротив большей стороны и меньший угол лежит напротив меньшей стороны, поэтому большим углом является ∠В, так как он лежит напротив большей стороны АС=7,3м, а меньшим углом является ∠С, так как лежит напротив меньшей стороны АВ=5,1м