В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
Saida6666
Saida6666
30.12.2022 12:01 •  Геометрия

№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SABCD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.

Показать ответ
Ответ:
vikhrovdavid
vikhrovdavid
15.10.2020 15:25
ответ:

OP_1=1 ед.

Объяснение:

Конус описан около четырёхугольной пирамиды по условию. SA=SB=SC=SD, как образующие конуса.

⇒ Боковые грани данной четырёхугольной пирамиды - равные равнобедренные треугольники

SA=SB=SC=SD и все плоские углы при вершине S составляют по 60^{\circ} каждый.

Так как боковые грани равны ⇒ AB=BC=CD=DA

⇒ четырёхугольник ABCD - квадрат

(Поясню, почему четырёхугольник ABCD не может быть ромбом. Есть теорема и звучит она так : если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180^{\circ}. Ромб - это параллелограмм, у которого противоположные углы равны. Поэтому если противоположные равны 120^{\circ}, к примеру, то их сумма \neq 180^{\circ}. Значит, ромб нельзя вписать в окружность)

=======================================================

⇒ данная четырёхугольная пирамида - правильная.

Значит, её боковые грани - равносторонние треугольники, т.к. углы при вершине S составляют по 60^{\circ} каждый.

Из всех четырёхугольников, вписанных в окружность, наибольшая площадь у квадрата.

Также из прямоугольных треугольников с равной гипотенузой, наибольшая площадь у равнобедренного.

Найдём, при каком положении точки P площадь основания наибольшая. Это будет середина дуги BC.

Значит, площадь пятиугольника ABPCD будет наибольшей.

Тогда объём пятиугольной пирамиды SABPCD будет тоже наибольшим.

Обозначим на грани SAB точку P_1.

Так как точка P по отношению к грани SAB также расположена, как и точка O \RightarrowOP_1 - расстояние от точки

Радиус конуса равен половине диагонали BD квадрата ABCD.

\Rightarrow BD=BO\cdot 2=\sqrt{3}\cdot2=2\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3} ед.

BD=AB\cdot \sqrt{2} \Rightarrow AB=BD:\sqrt{2}=2\sqrt{3}:\sqrt{2}=\sqrt{6} ед.

Так как боковые грани данной четырёхугольной пирамиды - равносторонние треугольники и они включают в себя по одной стороне основания данной пирамиды ⇒ SA=SB=SC=SD=\sqrt{6} ед.

\triangle SOB - прямоугольный, т.к. SO - высота.

Найдём высоту SO пирамиды SABCD по теореме Пифагора:

SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3} ед.

Проведём апофему SH на сторону основания AB данной пирамиды. Т. P_1 \in SH, т.к. \triangle SOH - прямоугольный, а OP_1 - высота данного треугольника.

OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{6}}{2} ед.

Найдём апофему SH по теореме Пифагора:

SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+\Big(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Big)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} ед.

Рассмотрим \triangle SHO и \triangle OP_1H :

\angle SHO - общий.

\angle SOH=\angle HP_1O=90^{\circ}

\Rightarrow \triangle SHO \sim \triangle OP_1H (по II признаку подобия треугольников).

\Rightarrow \dfrac{OH}{SH}=\dfrac{P_1H}{OH} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{P_1H}{\dfrac{\sqrt{6}}{2}} \\ \\ \sqrt{6}\cdot P_1H=\sqrt{3} \\ \\ P_1H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Теперь найдём OP_1 по теореме Пифагора:

OP_1=\sqrt{OH^2-P_1H^2}=\sqrt{\Big(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Big)^2-\Big(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)^2}=1 ед.


№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SABCD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с ради
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Геометрия
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота