3) Знайдіть відстань від точки B до площини OKM, якщо відстань від точки K
до прямої AB дорівнює √3 см, ∠MKB = 30°.
4) Площини α і β перпендикулярні. Рівнобедрений трикутник ABC лежить у
площині α так, що його основа AB належить прямій перетину площин. Пряма
b, паралельна прямій перетину площин, лежить у площині β і віддалена від
неї на 5 см. Обчисліть відстань від точки C до прямої b, якщо AB = 32 см, AC =
20 см.
Sкв = 4R^2
2) Разобьем шестиугольник на 6 треугольников отрезками, выходящими из центра к вершинам шестиугольника. Все эти треугольники правильные и равны между собой, т.к. угол при вершине 60 градусов и они равнобедренные, а высотой треугольника является радиус вписанной окружности, т. е. R. Сторону треугольников обозначим через X. Рассмотрим один из треугольников.
Высота является в нем и медианой. Тогда, рассмотрев треугольник, образованный отрезком, проведенным из центра, половиной основания и высотой, имеем по теореме Пифагора
R^2 +(X/2)^2 = X^2, откуда
X^2= 4R^2/3, X =2R/корень из 3
Площадь треугольника
Sтр=X*R/2= 2R*R/2*корень из 3 =R^2/корень из 3
Площадь шестиугольника
Sш =6Sтр= 6R^2/корень из 3 = 2* корень из 3* R^2
Отношение площадей
Sкв/Sш = 4R2/2* корень из 3* R^2 = 2/корень из 3
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
2. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Из трех признаков подобия только первый напрямую связан с углами треугольника.
Из условия задачи ясно, что прямая должна проходить через одну из вершин треугольника.
Рассмотрим вариант с прохождением этой прямой через вершину, противоположную основанию данного нам равнобедренного треугольника. Разделив этот угол пополам, мы в лучшем случае получим два равных прямоугольных треугольника.Разделив же этот угол на неравные части мы можем получить треугольники, удовлетворяющие нашему условию, только в случае, если угол В исходного треугольника будет тупым. Действительно, тогда имеем:
АВ=ВС. <A=<C= α.
<ABC=<ABM+<MBC= α + β.
<ABM=α
<MBC=<BMC=β.
ΔABC ~ ΔABM.
3α+β=180° (из ΔABC)
α+2β=180° (из ΔМBC). Тогда α=180-2β и
540-5β =180. Отсюда β =360:5=72°, α=36°
<A=<C=36°, <B=108°.
Итак, нам остается рассмотреть вариант прохождения прямой через вершину (любую), прилежащую к основанию нашего равнобедренного треугольника. Причем этот вариант может существовать только при условии, что прямая является биссектрисой этого угла, а угол при вершине равен половине угла при основании. Только тогда мы можем получить два НЕРАВНЫХ равнобедренных треугольника, один из которых подобен данному (смотри рисунок). Тогда мы имеем сумму пяти равных углов, равную 180° (сумма внутренних углов треугольника). Тогда один из пяти углов равен 180:5=36°. Это угол при вершине нашего треугольника. Углы при основании равны 2*36=72°.
ответ: имеется два варианта решения:
1. <A=<C=36°, <B=108° и
2. <A=<C= 72°, <B=36°.