Все окружности подобны, ⇒ отношение их радиусов равно отношению их длин. ⇒ R=2/3•r√3 или R=2r/√3 . Радиусом окружности, вписанной в правильный многоугольник, является его апофема ( так называется отрезок, проведенный из центра правильного многоугольника перпендикулярно стороне). На рисунке приложения нарисован равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – радиусы описанной окружности, высота – радиус вписанной окружности, основание – сторона данного многоугольника. ОН - высота и медиана равнобедренного треугольника. АН=ВН. sin∠OBН=ОН:ОВ=r:R=r:2r/√3=√3/2 ⇒ углы при основании равнобедренного ∆ АОВ=60°. ⇒ угол АОВ=60°. Полная окружность содержит 360°, поэтому сторон у данного по условию многоугольника 360°:60°=6. АВ=12:6=2 Формула площади правильного треугольника S=a²√3:4. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 правильных треугольников, поэтому его площадь равна 6•AB²•√3/4=6√3 (ед. площади)
Теорема о свойствах равнобедренного треугольника. В любом равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают. Доказательство. Оба эти свойства доказываются совершенно одинаково. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС. Пусть ВВ1 - биссектриса этого треугольника. Как известно, прямая BB1 является ось симметрии угла АВС. но в силу равенства AB = BC при той симметрии точка А переходит в С. Следовательно, треугольники ABB1 и CBB1 равны. Отсюда все и следует. Ведь в равных фигурах равны все соответствующие элементы. Значит, ÐBAB1 = ÐBCB1. Пункт 1) доказан. Кроме этого, AB1 = CB1, т. е. BB1 - медиана и ÐBB1A = ÐBB1C = 90°; таким образом, BB1 также и высота треугольника ABC.
Все окружности подобны, ⇒ отношение их радиусов равно отношению их длин. ⇒ R=2/3•r√3 или R=2r/√3 . Радиусом окружности, вписанной в правильный многоугольник, является его апофема ( так называется отрезок, проведенный из центра правильного многоугольника перпендикулярно стороне). На рисунке приложения нарисован равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – радиусы описанной окружности, высота – радиус вписанной окружности, основание – сторона данного многоугольника. ОН - высота и медиана равнобедренного треугольника. АН=ВН. sin∠OBН=ОН:ОВ=r:R=r:2r/√3=√3/2 ⇒ углы при основании равнобедренного ∆ АОВ=60°. ⇒ угол АОВ=60°. Полная окружность содержит 360°, поэтому сторон у данного по условию многоугольника 360°:60°=6. АВ=12:6=2 Формула площади правильного треугольника S=a²√3:4. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 правильных треугольников, поэтому его площадь равна 6•AB²•√3/4=6√3 (ед. площади)
В любом равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
Доказательство. Оба эти свойства доказываются совершенно одинаково. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС.
Пусть ВВ1 - биссектриса этого треугольника.
Как известно, прямая BB1 является ось симметрии угла АВС. но в силу равенства AB = BC при той симметрии точка А переходит в С.
Следовательно, треугольники ABB1 и CBB1 равны. Отсюда все и следует. Ведь в равных фигурах равны все соответствующие элементы. Значит, ÐBAB1 = ÐBCB1. Пункт 1) доказан. Кроме этого, AB1 = CB1, т. е. BB1 - медиана и ÐBB1A = ÐBB1C = 90°; таким образом, BB1 также и высота треугольника ABC.