4. Через точку А, лежащую на окружности с центром О, проведены касательная АВ и хорда АС. Угол между отрезками ОА и ОС равен 110°. Найдите угол между хордой АС и касательной АВ.
5. Через концы хорды АВ проведены две касательные к окружности, пересекающиеся в точке С. Угол между радиусом ОВ и хордой АВ равен 32°. Найдите угол между касательными АС и ВС.
6. Найдите отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точки А к
окружности радиуса r, если r = 9 см, ∠BAC = 120°.
7. Через точку А удалённую от центра окружности на 8см проведена касательная АВ к этой окружности. Найдите длину отрезка касательной, если радиус окружности равен 6см.
8. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиуса 5 см в точке В. Найдите расстояние от центра окружности до точки А и длину отрезка касательной, если угол АОВ равен 45°.

   Из курса геометрии известно, что у октагона - правильного восьмиугольника, стороны и внутренние углы равны между собой соответственно. Известно также, что сумма внутренних углов любого правильного многоугольника с n сторон рассчитывается по формуле ∑∠(n) = (n - 2)×180°.
   Применяя указанную формулу для данного восьмиугольника, получаем сумму ∑∠(8) = (8 - 2)×180° = 6×180° = 1080°, откуда следует, что ∠HGF заданного восьмиугольника равен ∠HGF = 1080°÷8 = 135°.
  Поскольку ∠HGF вписанный, а для вписанных углов известно, что они равны половине дуги, на которую они опираются, а значит, дуга F_H = 135°×2 = 270°. Тогда дуга, на которую опирается ∠FCH  (условно - меньшая) составляет 360°-270°=90°, а вписанный угол ∠FCH, который на эту дугу опирается, равен ∠FCH = 90°÷2 = 45°

А не так-то и просто :)
Пусть через вершину C проведена прямая, параллельная AB, и A2 - это точка пересечения этой прямой c продолжением прямой AA1;
Сразу видно две пары подобных трегольников
Треугольник APC1 подобен треугольнику A2PC; что означает
CA2/AC1 = CP/PC1;
Треугольник AA1B подобен треугольнику CA1A2, что означает
CA1/A1B = CA2/AB = CA2/(2*AC1) = (1/2)*CP/PC1;
То же самое можно сделать "с другой стороны медианы" (отметить на CA2 точку B2 пересечения с прямой BB1, и рассмотреть аналогичную пару подобных треугольников. Однако можно и это не делать - у вершин A и B можно просто поменять местами обозначения A <=> B)
то есть
CB1/B1A = (1/2)*CP/PC1 = CA1/A1B;
то есть A1B1 II AB по теореме Фалеса (ну, или в силу доказанного подобия треугольников ABC и A1B1C, если хотите).