4.
Из точки A проведена наклонная AB к плоскости a. Расстояние от точки A до плоскости a равно 16 см. На каком расстоянии от плоскости a находится точка C отрезка AB, если AC : CB = 3 : 5? В ответе укажите число без наименования.

<ADB=<ACB, т.к. опираются на одну хорду AB и равны 46° по условию. <BCX=23°по условию же, следовательно <ACX=23°. Следовательно CX - биссектриса. AX - биссектриса по условию, следовательно точка Х является точкой пересечения биссектрис. <ABC = 72°, т.к. противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме равны 180°, а <BDC = 62° по условию, отсюда <ADC=<ADB+<BDC=46°+62°=108°. Следовательно <ABC=180°-<ADC(108°)=72°. А угол <CBX является половиной <ABC (из свойства биссектрисы и т.к. BX является таковой. Отсюда <CBX=36°.

ответ: 36°

Даны точка M (3,-2,1) и векторы l(1,-2,4) и m(-3,0,4)

Для начала находим координаты вектора, перпендикулярного искомой плоскости. Таковым является векторное произведение заданных векторов:

 i         j        k |         i          j

1       -2       4 |          1        -2

-3       0        4 |        -3        0 =  -8i - 12j + 0i - 4j -0i - 6k = -8i - 16j - 6k.

Координаты (-8; -16; -6). Вспомним, что в уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 вектор (A;B;C) является вектором, перпендикулярной заданной плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид -8x - 16y - 6z + D = 0 .

Остается найти свободный коэффициент D - его найдем из условия, что плоскость проходит через точку M(3; -2; 1). Подставляем значения в уравнение:

-8*3-16*(-2)-6*1+D = 0

D = 24-32+6 = -2

Искомое уравнение -8x-16y-6z-2=0.

Можно сократить на -2:  4x+8y+3z+1=0.