4. Побудуйте правильний шестикутник із периметром 12 см. Обчисліть площу побудованого шестикутника.

AB =16 ; ∠A =30° ; ∠B =105° .

1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?

1) AB/sin∠C =BC/sinA   =  AC/sin∠B  = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла , 
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).  
 
длину  AC  не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .

sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или 
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.

* * * * * * *    Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту  BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒  Прямоугольный треугольник BHC  равнобедренный CH =BH ,т.к.  ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH  BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.

Використовуємо формулу довжини кола, щоб знайти її радіус:

C = 2πr, де C - довжина кола, π ≈ 3,14, r - радiус кола.

Підставляємо

8π = 2πr

r = 8π/2π = 4

Використовуємо формулу описаного кола близько правильного n-кутника:

де r - радіус вписаного кола, R - радіус описаного кола, n - число кутів правильного n-кутника (трикутника)

Підставляємо

Використовуємо формулу для сторони правильного трикутника

a₃ = R√3, где a₃ -  

сторона трикутника, R - радiус описаной кола

Підставляємо

a₃ = 8√3

Звідси периметр трикутника:

P = 8√3 * 3 = 24√3 (в правильному трикутнику всі сторони рівні)

Відповідь: P = 24√3