4. У трапеції ABCD з основами AD і BC , AD > ВС , діагоналі AC i BD перетинаються в точці E. Дотична до описаного кола трикутника ВСЕ,
проведена в точці Е, перетинає пряму АD в точці F так, що точка D
лежить між точками Ai F. Відомо, що AF = a , AD = Ь. Знайдіть
довжину відрізка EF.
Ал 1
12​

Заметим, что AB + BC = AC. Единственный вариант для этих точек - это если они все лежат на одной прямой.  

Мыслим дальше. Видим аналогичный прикол: AC + CD = AD. Значит и точка D лежит на той же прямой.  

Ну а дальше можно пойти двумя

1) Сказать, что такого выпуклого четырёхугольника не существует, а значит условие противоречивво и доказывать тут нечего.  

2) Не заметить эту тонкость и сказать, что раз все точки лежат на одной прямой, то и все отрезки лежат на ней же, и можно сказать, что они все друг другу параллельны. Ну а это значит, что это трапеция.

Точка D проецируется в центр описанной окружности, так как она равноудалена от вершин треугольника. В правильном треугольнике центры описанной и вписанной окружности совпадают и лежат на пересечении медиан треугольника, то есть делят медиану (высоту, биссектрису) в отношении 2:1, считая от вершины. Причем (1/3) медианы - это радиус вписанной окружности, а (2/3)медианы - радиус описанной окружности. В нашем случае (1/3) = 3 см. Тогда (2/3) = 6см. Из прямоугольного треугольника, образованного расстояниями от точки D до плоскости треугольника и радиусом описанной окружности (катеты) и расстоянием от точки D до вершин треугольника (гипотенуза) найдем искомое расстояние:

d = √(4²+6²)=√52 = 2√13см. Это ответ.