4. В треугольнике ABC проведена высота ВН. Известно, что <A = 45. <C = 30°, а отрезок НС 3 дм. Найдите сторону AB и площадь треугольника.​

Пусть АВС - данный равносторонний треугольник.

В любом равностороннем треугольнике углы его равны 60 градусов.

угол А=угол В=угол С=60 градусов.

Пусть АК и ВР - биссектриссы углов А и В соотвественно. Пусть биссектрисы пересекаются в точке Н .Тогда по определению биссектриссы.

угол BAH=угол ВАК=угол А:2=60градусов:2=30 градусов

угол ABH=угол АВР=2гол В:2=60градусов:2=30 градусов

Пусть биссектрисы пересекаются в точке Н

сумма углов трегуольника равна 180 градусов.

Поэтому угол AHB=180-30-30=120 градусов.

угол PHK=угол AHB=120 градусов (как вертикальные)

угол AHP=угол BHK=180-120=60 градусов (как смежные)

ответ: 60 градусов, 60 градусов, 120 градусов, 120 градусов

Я не совсем понял : периметр ромба равен 16 см ? так?

Ромб АВСД, о-точка пересечения диагоналей.

Периметр=16 см=4 АВ, т. е. АВ=16:4=4см 

угол ВАО=2 угла АВО. Пусть АВО=х*, тогда ВАО=2х*

Рассмотрим треугольник АВО.Он прямоугольный, т. к. диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом. Угол ВОА=90*, угол ВАО=2х*, угол АВО=х*.

90+2х+х=180 по теореме о сумме углов в треугольнике.

3х=90

х=30* угол АВО

2х=60* угол ВАО. 

По теореме о катете, противолежащем углу в 30*, имеем АО= 4:2=2 см,

Меньшая диагональ АС=2*2=4см, т. к. диагонали точкой пересеч. по теореме делятся пополам. 

ответ: меньшая диагональ=4 см