40 даны окружность s, прямая m и точка a. постройте точку b на окружности s и точку c на прямой m так, чтобы точка a принадлежала отрезку bc и выполнялось соотношение ab : ac = 1 : 2.
1) Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 4 см. Точка Е - середина ребра ВВ₁. Вычислите длину ортогональной проекции отрезка ЕD на плоскость DD₁C₁. См. рисунок 1 DЕ - наклонная к плоскости DD₁C₁. Опустив перпендикуляр ЕЕ₁ на эту плоскость и соединив Е₁ с D, получим прямоугольный треугольник DЕЕ₁, в котором катет DЕ₁ является искомой проекцией. Он же является и гипотенузой прямоугольного треугольника DСЕ₁, катеты которого нам известны. СЕ₁=ВЕ=4:2=2 DС=4 DЕ₁=√(16+4)=2√5 см ----------------------------- 2) Длина ребра куба АВСDA₁B₁C₁D₁ равна 2 см. Вычислите расстояние между прямой DD₁ и плоскостью АСС₁. См. рисунок 2 Расстоянием от прямой до плоскости является перпендикуляр к плоскости из любой точки этой прямой. DН - искомое расстояие. DН- половина диагонали основания. Диагональ основания равна 2√2, следовательно, DН=√2 см --------------------------- 3) Основание треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник, длина стороны которго равна 6 см. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания. Вычислите расстояние от середины ребра SC до прямой АВ, если известно, что SC = 4 см. См. рисунок 3 Искомое расстояние - отрезок МН, перпендикулярный АВ. По теореме о трех перпендикулярах его проекция также перпендикулярна АВ, и проекция эта является высотой СН правильного треугольника АВС. СН=АС sin(60°)=3√3 МН по т. Пифагора равна корню из суммы квадратов катетов прямоугольного треугольника МСН ( МС, как часть SC, перпендикулярна плоскости АВС по условию). МН=√(4+27)=√31 см ответ: расстояние от середины ребра SC до прямой АВ равно √31см
См. рисунок 1
DЕ - наклонная к плоскости DD₁C₁.
Опустив перпендикуляр ЕЕ₁ на эту плоскость и соединив Е₁ с D, получим прямоугольный треугольник DЕЕ₁, в котором катет DЕ₁ является искомой проекцией. Он же является и гипотенузой прямоугольного треугольника DСЕ₁, катеты которого нам известны.
СЕ₁=ВЕ=4:2=2
DС=4
DЕ₁=√(16+4)=2√5 см
-----------------------------
2) Длина ребра куба АВСDA₁B₁C₁D₁ равна 2 см. Вычислите расстояние между прямой DD₁ и плоскостью АСС₁.
См. рисунок 2
Расстоянием от прямой до плоскости является перпендикуляр к плоскости из любой точки этой прямой.
DН - искомое расстояие.
DН- половина диагонали основания.
Диагональ основания равна 2√2, следовательно,
DН=√2 см
---------------------------
3) Основание треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник, длина стороны которго равна 6 см. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания. Вычислите расстояние от середины ребра SC до прямой АВ, если известно, что SC = 4 см.
См. рисунок 3
Искомое расстояние - отрезок МН, перпендикулярный АВ.
По теореме о трех перпендикулярах его проекция также перпендикулярна АВ, и проекция эта является высотой СН правильного треугольника АВС.
СН=АС sin(60°)=3√3
МН по т. Пифагора равна корню из суммы квадратов катетов прямоугольного треугольника МСН ( МС, как часть SC, перпендикулярна плоскости АВС по условию).
МН=√(4+27)=√31 см
ответ: расстояние от середины ребра SC до прямой АВ равно √31см
1. Пусть х - один из вертикальных углов, тогда угол, смежный с ним 180° - х, так как сумма смежных углов равна 180°.
Вертикальные углы равны, тогда 2х - сумма двух вертикальных углов.
Получаем уравнение:
2x + 30° = 180° - x
3x = 150°
x = 50°
ответ: каждый из двух вертикальных углов равен 50°.
2. Пусть х - один из углов, тогда угол, смежный с ним 180° - х, так как сумма смежных углов равна 180°.
Получаем уравнение:
1/8 x + 3/4 (180° - x) = 90° |· 8
x + 6 (180° - x) = 720°
x + 1080° - 6x = 720°
5x = 360°
x = 72° - один из смежных углов.
180° - 72° = 108° - второй угол.
Разность данных углов:
108° - 72° = 36°
ответ: 36°.
3. ∠1 + ∠2 + ∠3 - ∠4 = 280° по условию задачи.
∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4 как вертикальные, значит
2 · ∠1 = 280°
∠1 = 140°
∠3 = ∠1 = 140°
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 140° = 40°, так как ∠2 и ∠1 смежные, а сумма смежных углов равна 180°.
∠4 = ∠2 = 40°
ответ: 40°, 40°, 140°, 140°.