45. Из точек Ри Z плоскости а опущены параллельные отрезки длиной РК = 6 см и ZM = 9 см. Прямая МК пересекает плоскость а в точке
0. Найдите длину отрезка МО, если MK = 6 см.​

Проекции катетов на гипотенузу - это отрезки, на которые делит гипотенузу высота, опущенная на нее из прямого угла. Известно, что квадрат этой высоты равен произведению величин отрезков гипотенузы, то есть h = √(1*3) = √3. Тогда в прямоугольных треугольниках, на которые делится исходный прямоугольный треугольник высотой из прямого угла на гипотенузу, имеем: тангенсы острых углов исходного треугольника равны отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть  √3/1 и √3/3. Значит эти углы соответственно равны 60° и 30°.

 Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 12,  радиус окружности, описанной около основания, равен 6.  Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.    
-------------------------
 Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат. 
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине  диагонали квадрата. 
 Пусть основание - АВСД. 
Центр описанной окружности квадрата находится в точке  пересечения его диагоналей и является основанием КО -  высоты  пирамиды. 
Радиус описанной окружности АО=ОВ,  апофема - КН. 
 Из прямоугольного треугольника АОВ сторона  АВ по т. Пифагора равна 6√2. 
Косинус двугранного угла при основании пирамиды найдем из  прямоугольного треугольника КНО
 cоs∠КНО=ОН:КН. 
ОН - высота и медиана равнобедренного прямоугольного ⊿ АОВ и равна АН  
ОН=АВ:2=6√2:2=3√2  
cоs∠КНО=(3√2):12= (√2):4  или иначе 1:(2√2)