46.Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на окружности радиуса 1, а две другие-на касательной к ней.
50. В сектор круга радиуса 1 с углом 90° вписали квадрат так, что две его вершины лежат на окружности. Найдите площадь квадрата.
54. Строга квадрата равна 1. Найдите сторону закрашенного квадрата на рисунке.
Пусть сторона искомого квадрата равна a.
Квадрат разделит окружность на две дуги: дугу AB, где A и B - точки, где касательная касается окружности, и дугу AC, где C - точка, где сторона квадрата касается окружности.
Угол между сторонами квадрата равен 90 градусов, так как он прямоугольный.
Из свойств квадрата и окружности можно сделать следующие выводы:
- Сторона квадрата и радиус окружности (из центра окружности до точки касания стороны с окружностью) будут перпендикулярны.
- Окружность, радиус которой равен 1, имеет длину окружности 2π.
- Дуга AB составляет половину от всей окружности, то есть π.
- Дуга AC составляет 90 градусов, то есть π/2.
Теперь мы можем записать такие уравнения:
AB + AC = π
AC + a = AB
Заменяем значениями:
π + a = π/2 + AB
AB = π - π/2 + a
AB = π/2 + a
Так как сторона квадрата и радиус окружности перпендикулярны, то угол B будет прямым.
Тангенс прямого угла равен бесконечности.
Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Обозначим противолежащий катет как π/2 и прилежащий как a.
Тангенс угла B можно записать так:
tg(B) = (π/2) / a
tg(B) = π / (2a)
Тангенс прямого угла равен бесконечности:
tg(B) = бесконечность
Таким образом, уравнение будет выглядеть так:
π / (2a) = бесконечность
Это уравнение невозможно решить, поэтому нельзя однозначно найти сторону искомого квадрата.
50. Для решения этой задачи нужно использовать свойства сектора и квадрата.
Пусть сторона квадрата равна a.
Из свойств задачи можно сделать следующие выводы:
- Угол в секторе равен 90 градусов, так как это написано в условии задачи.
- Угол квадрата равен 90 градусов, так как квадрат имеет прямой угол.
Таким образом, квадрат полностью вписан в сектор.
Площадь сектора равна π * r^2 * (угол сектора / 360) = π * 1^2 * (90 / 360) = π / 4.
Площадь квадрата равна a^2.
Площадь сектора равна площади квадрата:
a^2 = π / 4.
Для нахождения стороны квадрата возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
a = √(π / 4).
Таким образом, сторона квадрата равна √π / 2.
54. Для решения этой задачи нужно использовать свойство подобия фигур.
Строга квадрата равна 1.
Для решения задачи нам нужно заметить, что маленький квадрат и большой квадрат подобны, так как у них все углы равны и соотношение сторон одинаково.
Обозначим сторону большего квадрата как x.
Тогда соотношение сторон между маленьким квадратом и большим квадратом будет равно:
1 / x = x / 1.
Перемножим обе части уравнения:
1 * x = x * 1.
x^2 = 1.
Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
x = √1.
Таким образом, сторона большего квадрата равна √1 = 1.
Следовательно, сторона закрашенного квадрата также равна 1.